Ejercicio 1 de 10
CálculoRecuerda la regla de Laplace: P(A) = , si todos los casos son igual de probables.
Una urna tiene 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. Se saca una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
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Sentido estocástico
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido estocástico
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1
Recuerda la regla de Laplace: P(A) = , si todos los casos son igual de probables.
Una urna tiene 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. Se saca una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Recuerda: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Si P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A ∩ B) = 0,1, calcula P(A ∪ B).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3
Recuerda la ley de De Morgan: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∪ B).
Con P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A ∩ B) = 0,1, calcula la probabilidad de que no ocurra ni A ni B.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 4
Recuerda: P(A|B) = .
Si P(A ∩ B) = 0,12 y P(B) = 0,4, calcula P(A|B).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Si P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,12, los sucesos A y B son independientes.VerdaderoFalso
Ejercicio 6 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, P(A ∩ B) = 0.
Dos sucesos incompatibles con probabilidades no nulas son siempre independientes.VerdaderoFalso
Ejercicio 7
Recuerda: en un árbol, la probabilidad total de B es la suma de todos los caminos que acaban en B.
Se elige al azar una de dos cajas, con la misma probabilidad. La caja 1 tiene 3 bolas blancas y 2 negras; la caja 2 tiene 1 blanca y 4 negras. Se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 8
Recuerda el teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = , «el camino que interesa entre el total».
Con las cajas del ejercicio anterior (P(blanca) = 0,4), se sabe que la bola sacada es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que venga de la caja 1?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 9
Recuerda: si X ~ B(n, p), P(X = k) = (n sobre k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Se lanza 4 veces una moneda equilibrada. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10
Recuerda: se tipifica con Z = , y P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a), con P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a).
Las estaturas X siguen una N(170, 10). Calcula P(160 ≤ X ≤ 180) usando el dato P(Z ≤ 1) = 0,8413.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
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Repasar: Sentido estocástico
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 0,3
Hay 10 bolas en total, de las que 3 son rojas.
- Casos posibles: 3 + 5 + 2 = 10
- Casos favorables: 3
- P(roja) = = 0,3
Ejercicio 2
Respuesta: 0,8
Se resta la intersección porque se ha contado dos veces al sumar P(A) y P(B).
- P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 − 0,1
- = 0,8
Ejercicio 3
Respuesta: 0,2
«Ni A ni B» es el complementario de «A o B».
- P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 − 0,1 = 0,8
- P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − 0,8 = 0,2
Ejercicio 4
Respuesta: 0,3
Se divide la probabilidad de que ocurran los dos sucesos entre la probabilidad del suceso que se sabe que ha ocurrido.
- P(A|B) =
- = 0,3
Ejercicio 5
Respuesta: Vrai
Verdadero: el producto de las probabilidades coincide con la probabilidad de la intersección.
- P(A) · P(B) = 0,3 · 0,4 = 0,12
- P(A ∩ B) = 0,12 = P(A) · P(B): independientes
- Equivalente: P(A|B) = = 0,3 = P(A)
Ejercicio 6
Respuesta: Faux
Falso. Si son incompatibles, P(A ∩ B) = 0, mientras que P(A) · P(B) > 0: nunca son independientes. Saber que ocurre B asegura que A no ocurre.
- Incompatibles: P(A ∩ B) = 0
- P(A) > 0 y P(B) > 0 ⟹ P(A) · P(B) > 0
- 0 ≠ P(A) · P(B): no son independientes
Ejercicio 7
Respuesta: 0,4
Se aplica el teorema de la probabilidad total con el sistema completo {caja 1, caja 2}.
- P(B|C₁) = = 0,6 y P(B|C₂) = = 0,2
- P(B) = 0,5 · 0,6 + 0,5 · 0,2 = 0,3 + 0,1
- P(B) = 0,4
Ejercicio 8
Respuesta: 0,75
Se divide la probabilidad del camino «caja 1 y blanca» entre la probabilidad total de sacar blanca.
- Camino caja 1 y blanca: 0,5 · 0,6 = 0,3
- P(C₁|B) = = 0,75
Ejercicio 9
Respuesta: 0,375
El número de caras sigue una binomial B(4; 0,5): 4 lanzamientos independientes con probabilidad de éxito constante.
- (4 sobre 2) = = 6
- P(X = 2) = 6 · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,0625
- P(X = 2) = 0,375
Ejercicio 10
Respuesta: 0,6826
Se tipifican los dos extremos y se usa la simetría de la normal para el valor negativo.
- z₁ = = −1 y z₂ = = 1
- P(Z ≤ −1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
- P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826
Estos ejercicios repasan paso a paso la probabilidad: regla de Laplace, unión y complementario, probabilidad condicionada, independencia, probabilidad total, teorema de Bayes y distribuciones binomial y normal. Lee el recordatorio de cada enunciado y la corrección completa aunque aciertes: ahí están los métodos. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Si P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A ∩ B) = 0,1, calcula P(A ∪ B).Ejercicio 3 de 10
CálculoRecuerda la ley de De Morgan: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∪ B).
Con P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A ∩ B) = 0,1, calcula la probabilidad de que no ocurra ni A ni B.Ejercicio 4 de 10
CálculoRecuerda: P(A|B) = .
Si P(A ∩ B) = 0,12 y P(B) = 0,4, calcula P(A|B).Ejercicio 5 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Si P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,12, los sucesos A y B son independientes.Ejercicio 6 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, P(A ∩ B) = 0.
Dos sucesos incompatibles con probabilidades no nulas son siempre independientes.Ejercicio 7 de 10
CálculoRecuerda: en un árbol, la probabilidad total de B es la suma de todos los caminos que acaban en B.
Se elige al azar una de dos cajas, con la misma probabilidad. La caja 1 tiene 3 bolas blancas y 2 negras; la caja 2 tiene 1 blanca y 4 negras. Se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?Ejercicio 8 de 10
CálculoRecuerda el teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = , «el camino que interesa entre el total».
Con las cajas del ejercicio anterior (P(blanca) = 0,4), se sabe que la bola sacada es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que venga de la caja 1?Ejercicio 9 de 10
CálculoRecuerda: si X ~ B(n, p), P(X = k) = (n sobre k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Se lanza 4 veces una moneda equilibrada. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: se tipifica con Z = , y P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a), con P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a).
Las estaturas X siguen una N(170, 10). Calcula P(160 ≤ X ≤ 180) usando el dato P(Z ≤ 1) = 0,8413.