Evaluación de Matemáticas

Ejercicio 1

Respuesta: 2 × 4

El producto A · B existe porque el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3). El resultado tiene las filas de A y las columnas de B.

1. A: 2 × 3, B: 3 × 4: columnas de A = filas de B
2. A · B tiene 2 filas (las de A) y 4 columnas (las de B): 2 × 4

Ejercicio 2

Respuesta: (4 2; 3 3)

Cada elemento de A · B es el producto de una fila de A por una columna de B. No se multiplican los elementos que ocupan la misma posición, y el orden importa: (2 4; 1 5) es B · A.

1. Fila 1 de A por columnas de B: 1 · 2 + 2 · 1 = 4 y 1 · 0 + 2 · 1 = 2
2. Fila 2 de A por columnas de B: 0 · 2 + 3 · 1 = 3 y 0 · 0 + 3 · 1 = 3
3. A · B = (4 2; 3 3)

Ejercicio 3

Respuesta: Faux

Falso. Al desarrollar aparecen AB y BA, que en general son distintos porque el producto de matrices no es conmutativo.

1. (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B²
2. Solo si AB = BA se puede escribir A² + 2AB + B²

Ejercicio 4

Respuesta: 2

Se escalona la matriz con operaciones por filas; el rango es el número de filas no nulas que quedan.

1. F2 − 2F1 = (0 0 0): la segunda fila es el doble de la primera
2. F3 − F1 = (0 −2 2)
3. Quedan dos filas no nulas: (1 2 1) y (0 −2 2), luego rg(A) = 2

Ejercicio 5

Respuesta: 2

Al sustituir sale la indeterminación 0/0: se factorizan numerador y denominador y se simplifica el factor común (x − 3).

1. (x² − 9)(x² − 3x) = (x − 3)(x + 3)(x(x − 3)) = (x + 3)x
2. lím_x→3 (x + 3)x = 63 = 2

Ejercicio 6

Respuesta: e³

Es una indeterminación 1^∞: no vale 1. Se aplica lím f^g = e^{lím g · (f − 1)}.

1. f → 1 y g → ∞: indeterminación 1^∞
2. lím x · (1 + 3x − 1) = lím x · 3x = 3
3. El límite es e³

Ejercicio 7

Respuesta: 1

f es continua en 2 si los límites laterales coinciden con f(2).

1. lím_x→2⁻ f(x) = f(2) = 4 + k
2. lím_x→2⁺ f(x) = 3 · 2 − 1 = 5
3. 4 + k = 5 ⟹ k = 1

Ejercicio 8

Respuesta: y = −x + 1

La recta tangente en x = a es y − f(a) = f'(a) · (x − a): hacen falta el punto (a, f(a)) y la pendiente f'(a).

1. f(1) = 1 − 2 + 1 = 0
2. f'(x) = 3x² − 4x, luego f'(1) = 3 − 4 = −1
3. y − 0 = −1 · (x − 1) ⟹ y = −x + 1

Ejercicio 9

Respuesta: 0,5

Es una indeterminación 0/0. Se derivan numerador y denominador por separado (no es la derivada del cociente); si vuelve a salir 0/0, se aplica otra vez.

1. 0/0: L'Hôpital da lím_x→0 (eˣ − 1)2x
2. Otra vez 0/0: lím_x→0 eˣ2 = 12
3. El límite es 12 = 0,5

Ejercicio 10

Respuesta: Máximo relativo en (1, 5) y mínimo relativo en (3, 1)

Se buscan los puntos críticos (f'(x) = 0) y se clasifican con el signo de f'' (o con el cambio de signo de f').

1. f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = 0 ⟺ x = 1 o x = 3
2. f''(x) = 6x − 12: f''(1) = −6 < 0 (máximo) y f''(3) = 6 > 0 (mínimo)
3. f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 y f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
4. El punto (2, 3) es un punto de inflexión, no un extremo

Ejercicio 11

Respuesta: 12 e^x² + C

Aparece casi la forma ∫ f' e^f dx = e^f + C con f(x) = x², cuya derivada es 2x: falta un factor 2, que se compensa con 12.

1. ∫ x e^x² dx = 12 ∫ 2x e^x² dx
2. = 12 e^x² + C
3. Comprobación: (12 e^x²)' = 12 · 2x e^x² = x e^x²

Ejercicio 12

Respuesta: 1,333333 u²

Se hallan los puntos de corte de las dos curvas y se integra la diferencia «curva de arriba menos curva de abajo» entre ellos.

1. 2x = x² ⟺ x(x − 2) = 0 ⟺ x = 0 o x = 2
2. En (0, 2), por ejemplo en x = 1: 2x = 2 > x² = 1, así que y = 2x está por encima
3. ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³3]₀² = 4 − 83 = 43
4. Área = 43 ≈ 1,33 u²

Ejercicio 13

Respuesta: 1

Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0.

1. u · v = 2 · 1 + (−1) · 5 + 3 · k = 2 − 5 + 3k = 3k − 3
2. 3k − 3 = 0 ⟹ k = 1

Ejercicio 14

Respuesta: (6, −3, 1)

Se desarrolla el determinante |i j k; 1 2 0; 0 1 3|, sin olvidar el signo menos de la segunda componente. (−6, 3, −1) es v × u, que tiene el sentido contrario.

1. Primera componente: 2 · 3 − 0 · 1 = 6
2. Segunda: −(1 · 3 − 0 · 0) = −3
3. Tercera: 1 · 1 − 2 · 0 = 1
4. Comprobación: (6, −3, 1) · u = 6 − 6 + 0 = 0 y (6, −3, 1) · v = 0 − 3 + 3 = 0

Ejercicio 15

Respuesta: 3

El vector normal da los coeficientes A, B y C; el término independiente D se obtiene imponiendo que el punto A esté en el plano.

1. π: 2x − y + 3z + D = 0
2. Por A(1, 2, −1): 2 · 1 − 2 + 3 · (−1) + D = 0
3. −3 + D = 0 ⟹ D = 3

Ejercicio 16

Respuesta: 4 u

Se aplica d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|√(A² + B² + C²).

1. Numerador: |2 · 1 + 2 − 2 · (−2) + 4| = |12| = 12
2. Denominador: √(4 + 1 + 4) = 3
3. d(P, π) = 123 = 4

Ejercicio 17

Respuesta: La recta está contenida en el plano

Se compara el vector director v de la recta con el vector normal n del plano. Si v · n = 0, la recta es paralela al plano o está contenida en él: se decide comprobando si un punto de r está en π.

1. v = (1, 1, −1), n = (1, 2, 3): v · n = 1 + 2 − 3 = 0
2. P(1, 0, 2) ∈ r: 1 + 0 + 6 = 7, luego P ∈ π
3. La recta está contenida en el plano

Ejercicio 18

Respuesta: 9

Se puede usar la regla de Sarrus o desarrollar por la primera fila, que tiene un cero.

1. Por la primera fila: |A| = 2 · |3 −1; 2 1| − 1 · |1 −1; 0 1| + 0
2. |3 −1; 2 1| = 3 + 2 = 5 y |1 −1; 0 1| = 1
3. |A| = 2 · 5 − 1 · 1 = 9

Ejercicio 19

Respuesta: (2 −1; −5 3)

Primero se comprueba que |A| ≠ 0. En orden 2: (a b; c d)⁻¹ = 1(ad − bc) · (d −b; −c a). La inversa no se obtiene invirtiendo cada elemento.

1. |A| = 3 · 2 − 1 · 5 = 1 ≠ 0: A es invertible
2. A⁻¹ = 11 · (2 −1; −5 3) = (2 −1; −5 3)
3. Comprobación: A · A⁻¹ = (6 − 5, −3 + 3; 10 − 10, −5 + 6) = (1 0; 0 1)

Ejercicio 20

Respuesta: Compatible indeterminado, con 1 parámetro

Por el teorema de Rouché-Frobenius, como rg(A) = rg(A*) el sistema es compatible; como ese rango es menor que el número de incógnitas, es indeterminado.

1. rg(A) = rg(A*) = 2: compatible
2. 2 < 3 incógnitas: SCI
3. Número de parámetros: n − rg(A) = 3 − 2 = 1

Ejercicio 21

Respuesta: 2

Un sistema homogéneo con matriz cuadrada tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si |A| = 0 (entonces rg(A) < 3 y es SCI).

1. |A| = |1 1 1; 1 2 m; 1 m 2| = 1 · (4 − m²) − 1 · (2 − m) + 1 · (m − 2)
2. |A| = 4 − m² − 2 + m + m − 2 = −m² + 2m = m(2 − m)
3. |A| = 0 ⟺ m = 0 o m = 2; el valor positivo es m = 2

Ejercicio 22

Respuesta: 0,5

Primero se obtiene P(A ∩ B) a partir de la probabilidad de la unión; después se aplica la definición de probabilidad condicionada.

1. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2
2. P(A|B) = P(A ∩ B)P(B) = 0,20,4 = 0,5

Ejercicio 23

Respuesta: 0,488

El número X de piezas defectuosas sigue una binomial B(3; 0,2). «Al menos una» se calcula con el complementario: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).

1. P(X = 0) = 0,8³ = 0,512
2. P(X ≥ 1) = 1 − 0,512 = 0,488

Ejercicio 24

Respuesta: 0,52

Se calcula la probabilidad total de que una pieza sea defectuosa y, con el teorema de Bayes, la parte que corresponde al camino de M₂.

1. P(D) = 0,7 · 0,04 + 0,3 · 0,10 = 0,028 + 0,030 = 0,058
2. P(M₂|D) = 0,3 · 0,100,058 = 0,0300,058 ≈ 0,517
3. Redondeando: P(M₂|D) ≈ 0,52

Ejercicio 25

Respuesta: 0,0668

Se tipifica con Z = (X − μ)σ y se usa el complementario, porque la tabla da P(Z ≤ z).

1. z = (72 − 60)8 = 128 = 1,5
2. P(X ≥ 72) = P(Z ≥ 1,5) = 1 − P(Z ≤ 1,5)
3. = 1 − 0,9332 = 0,0668