Ejercicio 1 de 10
CálculoRecuerda: |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²).
Calcula el módulo de u = (2, −3, 6).
Repasar · Matemáticas 2.º Bach.
Sentido espacial
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido espacial
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1
Recuerda: |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²).
Calcula el módulo de u = (2, −3, 6).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: el vector que va de A a B es AB = B − A (extremo menos origen).
Calcula AB con A(1, 2, 3) y B(4, 0, 5).- (3, −2, 2)
- (−3, 2, −2)
- (5, 2, 8)
- (3, 2, 2)
Ejercicio 3
Recuerda: u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ es un número.
Calcula u · v con u = (1, −2, 3) y v = (4, 0, −1).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 4 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0.
Los vectores u = (2, 1, −1) y v = (1, −1, 1) son perpendiculares.VerdaderoFalso
Ejercicio 5 — Completa los huecos.
Recuerda: u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, −(u₁v₃ − u₃v₁), u₁v₂ − u₂v₁), un vector perpendicular a u y a v.
Completa u × v con u = (1, 2, 1) y v = (0, 1, 2).u × v = (, , )
Ejercicio 6
Recuerda: el área del triángulo ABC es · |AB × AC|.
Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 2). Redondea a las centésimas.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… u²
Ejercicio 7
Recuerda: el producto mixto [u, v, w] es el determinante de las tres filas de componentes; el volumen del paralelepípedo es su valor absoluto.
Calcula el volumen del paralelepípedo construido sobre u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1) y w = (1, 0, 2).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… u³
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: en el plano Ax + By + Cz + D = 0, el vector normal es n = (A, B, C).
¿Cuál es un vector normal del plano π: 3x − y + 2z − 5 = 0?- (3, −1, 2)
- (3, −1, −5)
- (3, 1, 2)
- (−1, 2, −5)
Ejercicio 9 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: la recta que pasa por P(p₁, p₂, p₃) con vector director v = (v₁, v₂, v₃) tiene paramétricas x = p₁ + λv₁, y = p₂ + λv₂, z = p₃ + λv₃.
¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1, 0, −2) con vector director v = (2, 1, 3)?- x = 1 + 2λ, y = λ, z = −2 + 3λ
- x = 2 + λ, y = 1, z = 3 − 2λ
- x = 1 + 2λ, y = λ, z = 2 + 3λ
- x = 2λ, y = 1 + λ, z = 3 − 2λ
Ejercicio 10
Recuerda: d(P, π) = .
Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) al plano π: 2x + 2y + z + 4 = 0.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… u
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ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido espacial
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 7
Se suman los cuadrados de las componentes y se toma la raíz cuadrada. Los signos desaparecen al elevar al cuadrado.
- 2² + (−3)² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49
- |u| = √49 = 7
Ejercicio 2
Respuesta: (3, −2, 2)
Se resta a las coordenadas de B las de A. (−3, 2, −2) es BA, el vector de sentido contrario.
- AB = (4 − 1, 0 − 2, 5 − 3)
- AB = (3, −2, 2)
Ejercicio 3
Respuesta: 1
Se multiplican las componentes correspondientes y se suman.
- u · v = 1 · 4 + (−2) · 0 + 3 · (−1)
- = 4 + 0 − 3 = 1
Ejercicio 4
Respuesta: Vrai
Verdadero: el producto escalar es nulo.
- u · v = 2 · 1 + 1 · (−1) + (−1) · 1 = 2 − 1 − 1 = 0
- u · v = 0 ⟹ u ⊥ v
Ejercicio 5
Respuesta: 3 · −2 · 1
Se desarrolla el determinante |i j k; 1 2 1; 0 1 2|, con el signo menos en la segunda componente.
- Primera: 2 · 2 − 1 · 1 = 3
- Segunda: −(1 · 2 − 1 · 0) = −2
- Tercera: 1 · 1 − 2 · 0 = 1
- Comprobación: (3, −2, 1) · u = 3 − 4 + 1 = 0 y (3, −2, 1) · v = 0 − 2 + 2 = 0
Ejercicio 6
Respuesta: 2,45 u²
Se calculan los vectores AB y AC, su producto vectorial y su módulo, y se divide entre 2.
- AB = (−1, 2, 0) y AC = (−1, 0, 2)
- AB × AC = (2 · 2 − 0 · 0, −((−1) · 2 − 0 · (−1)), (−1) · 0 − 2 · (−1)) = (4, 2, 2)
- |AB × AC| = √(16 + 4 + 4) = √24 = 2√6
- Área = · 2√6 = √6 ≈ 2,45 u²
Ejercicio 7
Respuesta: 3 u³
Se calcula el determinante |1 1 0; 0 1 1; 1 0 2| y se toma su valor absoluto.
- Por la primera fila: 1 · (1 · 2 − 1 · 0) − 1 · (0 · 2 − 1 · 1) + 0
- = 2 + 1 = 3
- Volumen = |3| = 3 u³
Ejercicio 8
Respuesta: (3, −1, 2)
Se toman los coeficientes de x, y y z, con su signo; el término independiente no forma parte del vector normal.
- A = 3, B = −1, C = 2
- n = (3, −1, 2)
Ejercicio 9
Respuesta: x = 1 + 2λ, y = λ, z = −2 + 3λ
El punto aporta los términos independientes y el vector director, los coeficientes de λ. No hay que intercambiarlos.
- x = 1 + 2λ
- y = 0 + 1 · λ = λ
- z = −2 + 3λ
Ejercicio 10
Respuesta: 3 u
Se sustituye el punto en la ecuación del plano, se toma el valor absoluto y se divide entre el módulo del vector normal.
- Numerador: |2 + 2 + 1 + 4| = 9
- Denominador: √(4 + 4 + 1) = 3
- d(P, π) = = 3
Estos ejercicios repasan paso a paso la geometría del espacio: vectores y módulo, productos escalar, vectorial y mixto, ecuaciones de rectas y planos y distancia de un punto a un plano. Lee el recordatorio de cada enunciado y la corrección completa aunque aciertes: ahí están los métodos. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
Tipo testRecuerda: el vector que va de A a B es AB = B − A (extremo menos origen).
Calcula AB con A(1, 2, 3) y B(4, 0, 5).Ejercicio 3 de 10
CálculoRecuerda: u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ es un número.
Calcula u · v con u = (1, −2, 3) y v = (4, 0, −1).Ejercicio 4 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0.
Los vectores u = (2, 1, −1) y v = (1, −1, 1) son perpendiculares.Ejercicio 5 de 10
Completar huecosRecuerda: u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, −(u₁v₃ − u₃v₁), u₁v₂ − u₂v₁), un vector perpendicular a u y a v.
Completa u × v con u = (1, 2, 1) y v = (0, 1, 2).Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda: el área del triángulo ABC es · |AB × AC|.
Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 2). Redondea a las centésimas.Ejercicio 7 de 10
CálculoRecuerda: el producto mixto [u, v, w] es el determinante de las tres filas de componentes; el volumen del paralelepípedo es su valor absoluto.
Calcula el volumen del paralelepípedo construido sobre u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1) y w = (1, 0, 2).Ejercicio 8 de 10
Tipo testRecuerda: en el plano Ax + By + Cz + D = 0, el vector normal es n = (A, B, C).
¿Cuál es un vector normal del plano π: 3x − y + 2z − 5 = 0?Ejercicio 9 de 10
Tipo testRecuerda: la recta que pasa por P(p₁, p₂, p₃) con vector director v = (v₁, v₂, v₃) tiene paramétricas x = p₁ + λv₁, y = p₂ + λv₂, z = p₃ + λv₃.
¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1, 0, −2) con vector director v = (2, 1, 3)?Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: d(P, π) = .
Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) al plano π: 2x + 2y + z + 4 = 0.