Los problemas métricos completan la geometría del espacio: medir ángulos y distancias, hallar la proyección de un punto o su simétrico. Todo se reduce a los productos escalar, vectorial y mixto, aplicados con las fórmulas adecuadas.
Objetivos
- Calcular ángulos entre dos rectas, entre recta y plano y entre dos planos
- Calcular distancias entre puntos, rectas y planos
- Hallar la proyección ortogonal y el simétrico de un punto
- Resolver problemas métricos tipo PAU
1. Ángulos
| Elementos | Fórmula |
|---|---|
| Dos rectas (directores u, v) | cos α = |
| Recta (director v) y plano (normal n) | sen α = |
| Dos planos (normales n₁, n₂) | cos α = |
2. Distancias
d(P, π) =
Distancia de P(1, 2, 3) a π: 2x − y + 2z + 3 = 0
- Numerador: |2 · 1 − 2 + 2 · 3 + 3| = |9| = 9
- Denominador: √(4 + 1 + 4) = 3
d(P, π) = 3
d(P, r) =
d(r, s) =
- Planos paralelos Ax + By + Cz + D = 0 y Ax + By + Cz + D' = 0: d = .
- Recta paralela a un plano, o dos rectas paralelas: se toma un punto de una y se calcula su distancia a la otra.
- Si dos elementos se cortan, su distancia es 0.
3. Proyecciones y simétricos
Proyección de P sobre un plano π: se traza la recta que pasa por P con director n (perpendicular a π) y se corta con π. El punto de corte H es la proyección.
Simétrico de P respecto de π: H es el punto medio entre P y su simétrico P', luego P' = 2H − P.
Simétrico de P(2, 1, 0) respecto de π: x + y + z = 6
- Recta perpendicular por P: (2 + t, 1 + t, t)
- Corte con π: 3 + 3t = 6, t = 1, H = (3, 2, 1)
- P' = 2H − P = (6 − 2, 4 − 1, 2 − 0)
P' = (4, 3, 2)
Recuerda
- Ángulos: coseno con dos rectas o dos planos, seno con recta y plano; siempre con valor absoluto.
- d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
- d(P, r) = |AP × v| / |v|.
- Rectas que se cruzan: d = |[u, v, PQ]| / |u × v|.
- Simétrico: P' = 2H − P, con H la proyección.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.