Ejercicio 1 de 10
CálculoCalcula la distancia entre A(1, 2, 3) y B(3, 4, 4).
Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Ejercicios: Ángulos, distancias, proyecciones y simétricos en el espacio
24 ejercicios con corrección detallada, en 3 series. Sin registro: tu progreso se queda en tu dispositivo.
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Ángulos, distancias, proyecciones y simétricos en el espacio — Practicar
Hoja de ejercicios
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Identifica primero qué fórmula corresponde a cada situación.
Ejercicio 1
Calcula la distancia entre A(1, 2, 3) y B(3, 4, 4).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Calcula la distancia del punto P(1, 2, 3) al plano 2x − y + 2z + 3 = 0.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3
Calcula, en grados, el ángulo que forman los planos x + y = 1 y x = 3.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… °
Ejercicio 4 — Marca la respuesta correcta.
¿Cuál es la distancia del punto P(x₀, y₀, z₀) al plano Ax + By + Cz + D = 0?
- |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
- |Ax₀ + By₀ + Cz₀| / (A + B + C)
- √(Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)
- |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / (A² + B² + C²)
Ejercicio 5 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Para el ángulo entre una recta y un plano se usa el seno del ángulo entre el vector director y el vector normal.
VerdaderoFalso
Ejercicio 6
Calcula la distancia entre los planos paralelos x + 2y + 2z = 1 y x + 2y + 2z = 7.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7
Calcula la distancia del origen al plano 3x + 4z = 10.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 8 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Asocia cada distancia con su fórmula.
- 1. Entre dos puntos A y B
- 2. De un punto P a una recta r
- 3. Entre dos rectas que se cruzan
- 4. De un punto a un plano
- A. |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / |n|
- B. |AP × v| / |v|
- C. |AB|
- D. |[u, v, PQ]| / |u × v|
Ejercicio 9
Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) al eje OX. Redondea a las centésimas.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10 — Completa los huecos.
Completa.
Para que el ángulo entre dos rectas esté entre 0° y 90°, en el numerador se toma el del producto escalar.
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Ángulos, distancias, proyecciones y simétricos en el espacio — Practicar
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 3
d(A, B) = |AB| con AB = (2, 2, 1): √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.
Ejercicio 2
Respuesta: 3
Se aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano.
- |2 − 2 + 6 + 3| = 9
- √(4 + 1 + 4) = 3
- d = 9/3 = 3
Ejercicio 3
Respuesta: 45 °
Se usa el ángulo entre los vectores normales n₁ = (1, 1, 0) y n₂ = (1, 0, 0).
- cos α = |1| / (√2 · 1) = 1/√2
- α = 45°
Ejercicio 4
Respuesta: |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Se sustituye el punto en la ecuación del plano, se toma el valor absoluto y se divide entre el módulo del normal.
Ejercicio 5
Respuesta: Vrai
Verdadero: el ángulo recta-plano es el complementario del ángulo entre v y n, y sen α = cos(90° − α).
Ejercicio 6
Respuesta: 2
d = |D − D'| / |n| = |7 − 1| / √(1 + 4 + 4) = 6/3 = 2.
Ejercicio 7
Respuesta: 2
d = |0 + 0 − 10| / √(9 + 16) = 10/5 = 2.
Ejercicio 8
Respuesta: 1 → C · 2 → B · 3 → D · 4 → A
Las fórmulas con producto vectorial y mixto se interpretan como altura = área / base o volumen / área.
Ejercicio 9
Respuesta: 1,41
El eje OX pasa por A(0, 0, 0) con director v = (1, 0, 0).
- AP × v = (1, 1, 1) × (1, 0, 0) = (0, 1, −1)
- d = √2 / 1 ≈ 1,41
Ejercicio 10
Respuesta: valor absoluto
Sin valor absoluto, el coseno podría ser negativo y daría el ángulo obtuso suplementario.
Identifica primero qué fórmula corresponde a cada situación.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoCalcula la distancia del punto P(1, 2, 3) al plano 2x − y + 2z + 3 = 0.
Ejercicio 3 de 10
CálculoCalcula, en grados, el ángulo que forman los planos x + y = 1 y x = 3.
Ejercicio 4 de 10
Tipo test¿Cuál es la distancia del punto P(x₀, y₀, z₀) al plano Ax + By + Cz + D = 0?
Ejercicio 5 de 10
Verdadero o falsoPara el ángulo entre una recta y un plano se usa el seno del ángulo entre el vector director y el vector normal.
Ejercicio 6 de 10
CálculoCalcula la distancia entre los planos paralelos x + 2y + 2z = 1 y x + 2y + 2z = 7.
Ejercicio 7 de 10
CálculoCalcula la distancia del origen al plano 3x + 4z = 10.
Ejercicio 8 de 10
RelacionarAsocia cada distancia con su fórmula.
Ejercicio 9 de 10
CálculoCalcula la distancia del punto P(1, 1, 1) al eje OX. Redondea a las centésimas.
Ejercicio 10 de 10
Completar huecosCompleta.