Una recta queda fijada por un punto y una dirección; un plano, por un punto y dos direcciones (o un vector normal). Con estas ideas se escriben todas las ecuaciones y se estudia cómo se sitúan dos rectas, una recta y un plano o varios planos: el enlace con los sistemas y el rango es directo.
Objetivos
- Escribir las ecuaciones de una recta en sus distintas formas
- Escribir la ecuación general de un plano y reconocer su vector normal
- Estudiar la posición relativa de planos, de recta y plano y de dos rectas
- Calcular puntos de intersección
1. Ecuaciones de la recta
Recta r que pasa por P(p₁, p₂, p₃) con vector director v = (v₁, v₂, v₃):
| Forma | Ecuación |
|---|---|
| Vectorial | (x, y, z) = (p₁, p₂, p₃) + λ(v₁, v₂, v₃) |
| Paramétricas | x = p₁ + λv₁, y = p₂ + λv₂, z = p₃ + λv₃ |
| Continua | = = |
| Implícitas | dos ecuaciones de planos que se cortan en r |
2. Ecuación del plano
π: Ax + By + Cz + D = 0, con vector normal n = (A, B, C)
- Plano por P con vector normal n: A(x − p₁) + B(y − p₂) + C(z − p₃) = 0.
- Plano por P con dos vectores directores u y v: el normal es n = u × v (o se anula el determinante |x − p₁ y − p₂ z − p₃; u; v|).
- Plano por tres puntos A, B, C: se usan P = A, u = AB y v = AC.
Plano que pasa por A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1)
- AB = (−1, 1, 0), AC = (−1, 0, 1)
- n = AB × AC = (1, 1, 1)
- x + y + z + D = 0 y, por A, D = −1
π: x + y + z = 1
3. Posiciones relativas de planos y de recta y plano
| Rangos | Posición |
|---|---|
| rg M = 1, rg M* = 1 | coincidentes |
| rg M = 1, rg M* = 2 | paralelos |
| rg M = 2 | secantes (se cortan en una recta) |
Recta r (punto P, director v) y plano π (normal n): si v · n ≠ 0, son secantes (un punto común). Si v · n = 0, la recta es paralela al plano o está contenida en él, según que P pertenezca o no a π.
Intersección de r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(1, 1, −1) con π: x + y + z = 6
- Se sustituyen las paramétricas: (1 + λ) + λ + (2 − λ) = 6
- 3 + λ = 6, luego λ = 3
Punto de corte: (4, 3, −1)
4. Posición relativa de dos rectas
Sean r (punto P, director u) y s (punto Q, director v). Se estudian u, v y PQ:
| Situación | Posición |
|---|---|
| u, v proporcionales y P ∈ s | coincidentes |
| u, v proporcionales y P ∉ s | paralelas |
| u, v no proporcionales y [u, v, PQ] = 0 | secantes (se cortan en un punto) |
| [u, v, PQ] ≠ 0 | se cruzan (no son coplanarias) |
r: (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) y s: (0, 0, 1) + μ(0, 1, 1)
- u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1) no son proporcionales
- PQ = (−1, 0, 1); [u, v, PQ] = |1 1 0; 0 1 1; −1 0 1| = 1 − 1 = 0
- Son secantes. Igualando: z: 0 = 1 + μ, μ = −1; y: λ = −1
Se cortan en el punto (0, −1, 0)
Recuerda
- Recta: un punto y un vector director; plano: un punto y un vector normal.
- En Ax + By + Cz + D = 0, el vector normal es (A, B, C).
- Recta y plano: v · n ≠ 0 ⟹ secantes.
- Dos rectas: si [u, v, PQ] ≠ 0, se cruzan.
- Para cortar recta y plano, sustituye las paramétricas en el plano.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.