Ejercicio 1 de 10
Tipo test¿Cuál es un vector normal del plano 2x − y + 3z = 5?
Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Ejercicios: Rectas y planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas
24 ejercicios con corrección detallada, en 3 series. Sin registro: tu progreso se queda en tu dispositivo.
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Rectas y planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas — Practicar
Hoja de ejercicios
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Lee bien cada ecuación: identifica primero puntos, vectores directores y normales.
Ejercicio 1 — Marca la respuesta correcta.
¿Cuál es un vector normal del plano 2x − y + 3z = 5?
- (2, −1, 3)
- (2, −1, 3, 5)
- (−1, 3, 5)
- (5, 2, −1)
Ejercicio 2
El plano x + y + z = d pasa por el punto (1, 2, 3). Halla d.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Los planos 2x + 4y − 2z = 1 y x + 2y − z = 3 son paralelos.
VerdaderoFalso
Ejercicio 4 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Asocia cada ecuación de una recta con su nombre.
- 1. (x, y, z) = (1, −1, 0) + λ(2, 3, 1)
- 2. x = 1 + 2λ, y = −1 + 3λ, z = λ
- 3. = = z
- 4. x + y − z = 0 y 2x − z = 1
- A. Vectorial
- B. Paramétricas
- C. Implícitas
- D. Continua
Ejercicio 5
La recta r tiene ecuación continua = = z. Halla la coordenada x del punto de r con z = 2.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 6
Halla el punto de corte de r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(1, 1, −1) con π: x + y + z = 6. Da su coordenada x.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
Una recta tiene vector director v y un plano tiene vector normal n. Si v · n ≠ 0, la recta y el plano son:
- Paralelos
- Secantes
- La recta está contenida en el plano
- Perpendiculares siempre
Ejercicio 8 — Completa los huecos.
Completa con el verbo adecuado.
Dos rectas del espacio que no son paralelas ni se cortan se .
Ejercicio 9
La recta r pasa por el origen con vector director v = (1, 1, 1). ¿Para qué valor de m es r paralela al plano x + my + z = 1?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10
El plano que pasa por P(1, −1, 2) y es perpendicular a v = (3, 1, −2) es 3x + y − 2z + D = 0. Halla D.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
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Rectas y planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas — Practicar
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: (2, −1, 3)
Los coeficientes de x, y, z forman el vector normal: n = (2, −1, 3).
Ejercicio 2
Respuesta: 6
Se sustituyen las coordenadas del punto: 1 + 2 + 3 = 6.
Ejercicio 3
Respuesta: Vrai
Verdadero: los normales (2, 4, −2) y (1, 2, −1) son proporcionales, pero los términos independientes no guardan la misma proporción (1 ≠ 2 · 3). Por eso no son coincidentes.
Ejercicio 4
Respuesta: 1 → A · 2 → B · 3 → D · 4 → C
Las tres primeras describen la misma recta; la forma implícita la da como intersección de dos planos.
Ejercicio 5
Respuesta: 5
Las tres fracciones valen λ = z = 2.
- x − 1 = 2 · 2
- x = 5 (y y = 5)
Ejercicio 6
Respuesta: 4
Se sustituyen las paramétricas en la ecuación del plano.
- (1 + λ) + λ + (2 − λ) = 6
- λ = 3
- Punto: (4, 3, −1)
Ejercicio 7
Respuesta: Secantes
Si v no es perpendicular a n, la recta no es paralela al plano: lo corta en un único punto.
Ejercicio 8
Respuesta: cruzan
Las rectas que se cruzan no están en un mismo plano: su producto mixto [u, v, PQ] no es nulo.
Ejercicio 9
Respuesta: -2
Paralelismo: v · n = 0 y el punto de r no está en el plano.
- v · n = 1 + m + 1 = m + 2 = 0, luego m = −2
- El origen no cumple 0 = 1: r es paralela, no contenida
Ejercicio 10
Respuesta: 2
El vector v es normal al plano; D se obtiene imponiendo que P pertenezca al plano.
- 3 · 1 + (−1) − 2 · 2 + D = 0
- −2 + D = 0, luego D = 2
Lee bien cada ecuación: identifica primero puntos, vectores directores y normales.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoEl plano x + y + z = d pasa por el punto (1, 2, 3). Halla d.
Ejercicio 3 de 10
Verdadero o falsoLos planos 2x + 4y − 2z = 1 y x + 2y − z = 3 son paralelos.
Ejercicio 4 de 10
RelacionarAsocia cada ecuación de una recta con su nombre.
Ejercicio 5 de 10
CálculoLa recta r tiene ecuación continua = = z. Halla la coordenada x del punto de r con z = 2.
Ejercicio 6 de 10
CálculoHalla el punto de corte de r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(1, 1, −1) con π: x + y + z = 6. Da su coordenada x.
Ejercicio 7 de 10
Tipo testUna recta tiene vector director v y un plano tiene vector normal n. Si v · n ≠ 0, la recta y el plano son:
Ejercicio 8 de 10
Completar huecosCompleta con el verbo adecuado.
Ejercicio 9 de 10
CálculoLa recta r pasa por el origen con vector director v = (1, 1, 1). ¿Para qué valor de m es r paralela al plano x + my + z = 1?
Ejercicio 10 de 10
CálculoEl plano que pasa por P(1, −1, 2) y es perpendicular a v = (3, 1, −2) es 3x + y − 2z + D = 0. Halla D.