La geometría del espacio de la PAU se apoya en tres herramientas: el producto escalar (ángulos y perpendicularidad), el producto vectorial (vectores perpendiculares y áreas) y el producto mixto (volúmenes y coplanariedad). Dominarlas hace que rectas, planos y distancias resulten mucho más sencillos.
Objetivos
- Operar con vectores del espacio y calcular su módulo
- Estudiar la dependencia lineal de vectores con determinantes
- Usar el producto escalar para ángulos, proyecciones y perpendicularidad
- Calcular productos vectoriales y mixtos e interpretarlos como áreas y volúmenes
1. Vectores y dependencia lineal
Un vector del espacio tiene tres componentes: u = (u₁, u₂, u₃). El vector que va de A a B es AB = B − A. Su módulo es su longitud.
|u| = √(u₁² + u₂² + u₃²)
Dependencia lineal: Tres vectores u, v, w son linealmente independientes (forman una base) si y solo si el determinante formado por sus componentes es distinto de 0. Si vale 0, son coplanarios (linealmente dependientes).
Dos vectores son dependientes (paralelos) si sus componentes son proporcionales.
2. Producto escalar
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u| · |v| · cos α
- Ángulo entre vectores: cos α =
- u ⊥ v ⟺ u · v = 0 (vectores no nulos)
- Proyección escalar de u sobre v:
¿Son perpendiculares u = (1, 0, 2) y v = (2, 1, −1)?
- u · v = 1 · 2 + 0 · 1 + 2 · (−1) = 0
Sí: el producto escalar es nulo, luego u ⊥ v.
3. Producto vectorial
u × v = |i j k; u₁ u₂ u₃; v₁ v₂ v₃| = (u₂v₃ − u₃v₂, −(u₁v₃ − u₃v₁), u₁v₂ − u₂v₁)
- u × v es perpendicular a u y a v.
- |u × v| = |u| · |v| · sen α = área del paralelogramo construido sobre u y v.
- Área del triángulo ABC = · |AB × AC|.
- v × u = −(u × v): no es conmutativo.
u × v con u = (1, 0, 2) y v = (2, 1, −1)
- Primera componente: 0 · (−1) − 2 · 1 = −2
- Segunda: −(1 · (−1) − 2 · 2) = 5
- Tercera: 1 · 1 − 0 · 2 = 1
- Comprobación: (−2, 5, 1) · u = −2 + 0 + 2 = 0
u × v = (−2, 5, 1)
4. Producto mixto
[u, v, w] = u · (v × w) = |u₁ u₂ u₃; v₁ v₂ v₃; w₁ w₂ w₃|
- Volumen del paralelepípedo = |[u, v, w]| (valor absoluto).
- Volumen del tetraedro ABCD = · |[AB, AC, AD]|.
- [u, v, w] = 0 ⟺ u, v, w son coplanarios.
Recuerda
- u · v es un número; u ⊥ v ⟺ u · v = 0.
- u × v es un vector perpendicular a u y v; su módulo es un área.
- Área del triángulo = |AB × AC|.
- Producto mixto = determinante; volumen del tetraedro = |[AB, AC, AD]|.
- Tres vectores son coplanarios ⟺ su determinante es 0.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.