Ejercicio 1 de 10
CálculoCalcula el módulo del vector u = (2, −1, 2).
Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Ejercicios: Vectores en el espacio: productos escalar, vectorial y mixto
24 ejercicios con corrección detallada, en 3 series. Sin registro: tu progreso se queda en tu dispositivo.
ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Vectores en el espacio: productos escalar, vectorial y mixto — Practicar
Hoja de ejercicios
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Escribe siempre las componentes con cuidado: un signo cambia el resultado.
Ejercicio 1
Calcula el módulo del vector u = (2, −1, 2).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Calcula el producto escalar de u = (1, 2, 3) y v = (2, −1, 4).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Si u y v son vectores no nulos y u · v = 0, entonces u y v son perpendiculares.
VerdaderoFalso
Ejercicio 4
Calcula u × v con u = (1, 2, 0) y v = (0, 1, 3). Da la segunda componente.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Asocia cada cálculo con lo que representa.
- 1. u · v
- 2. u × v
- 3. |u × v|
- 4. |[u, v, w]|
- A. El área del paralelogramo sobre u y v
- B. Un vector perpendicular a u y a v
- C. Un número que permite hallar el ángulo
- D. El volumen del paralelepípedo
Ejercicio 6
¿Para qué valor de m son perpendiculares u = (1, m, 2) y v = (3, 1, −2)?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
Tres vectores del espacio forman una base si y solo si:
- Su producto escalar es nulo
- El determinante de sus componentes es distinto de 0
- Tienen el mismo módulo
- Su producto vectorial es nulo
Ejercicio 8
Calcula el área del paralelogramo construido sobre u = (1, 2, 0) y v = (0, 1, 3). Redondea a las centésimas.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 9
Calcula, en grados, el ángulo entre u = (1, 0, 0) y v = (1, 1, 0).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… °
Ejercicio 10 — Completa los huecos.
Completa (escribe la fracción con una barra).
El volumen del tetraedro ABCD es del valor absoluto del producto mixto [AB, AC, AD].
ulumine.com — ejercicios corregidos gratis
ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Vectores en el espacio: productos escalar, vectorial y mixto — Practicar
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 3
|u| = √(2² + (−1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
Ejercicio 2
Respuesta: 12
Se multiplican las componentes una a una y se suman: 1 · 2 + 2 · (−1) + 3 · 4 = 2 − 2 + 12 = 12.
Ejercicio 3
Respuesta: Vrai
Verdadero: u · v = |u| · |v| · cos α = 0 con módulos no nulos obliga a cos α = 0, es decir, α = 90°.
Ejercicio 4
Respuesta: -3
Se desarrolla el determinante |i j k; 1 2 0; 0 1 3|.
- Primera: 2 · 3 − 0 · 1 = 6
- Segunda: −(1 · 3 − 0 · 0) = −3
- Tercera: 1 · 1 − 2 · 0 = 1
- u × v = (6, −3, 1)
Ejercicio 5
Respuesta: 1 → C · 2 → B · 3 → A · 4 → D
El escalar da ángulos; el vectorial, perpendiculares y áreas; el mixto (en valor absoluto), volúmenes.
Ejercicio 6
Respuesta: 1
Perpendiculares ⟺ producto escalar nulo.
- u · v = 3 + m − 4 = m − 1
- m − 1 = 0 ⟺ m = 1
Ejercicio 7
Respuesta: El determinante de sus componentes es distinto de 0
Determinante no nulo ⟺ vectores linealmente independientes ⟺ base de ℝ³.
Ejercicio 8
Respuesta: 6,78
El área es |u × v| con u × v = (6, −3, 1).
- |u × v| = √(36 + 9 + 1) = √46
- √46 ≈ 6,78
Ejercicio 9
Respuesta: 45 °
cos α = u · v / (|u| · |v|).
- u · v = 1
- |u| = 1, |v| = √2
- cos α = 1/√2, luego α = 45°
Ejercicio 10
Respuesta: 1/6
Un tetraedro ocupa la sexta parte del paralelepípedo construido sobre las mismas tres aristas.
Escribe siempre las componentes con cuidado: un signo cambia el resultado.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoCalcula el producto escalar de u = (1, 2, 3) y v = (2, −1, 4).
Ejercicio 3 de 10
Verdadero o falsoSi u y v son vectores no nulos y u · v = 0, entonces u y v son perpendiculares.
Ejercicio 4 de 10
CálculoCalcula u × v con u = (1, 2, 0) y v = (0, 1, 3). Da la segunda componente.
Ejercicio 5 de 10
RelacionarAsocia cada cálculo con lo que representa.
Ejercicio 6 de 10
Cálculo¿Para qué valor de m son perpendiculares u = (1, m, 2) y v = (3, 1, −2)?
Ejercicio 7 de 10
Tipo testTres vectores del espacio forman una base si y solo si:
Ejercicio 8 de 10
CálculoCalcula el área del paralelogramo construido sobre u = (1, 2, 0) y v = (0, 1, 3). Redondea a las centésimas.
Ejercicio 9 de 10
CálculoCalcula, en grados, el ángulo entre u = (1, 0, 0) y v = (1, 1, 0).
Ejercicio 10 de 10
Completar huecosCompleta (escribe la fracción con una barra).