Ejercicio 1 de 10
RelacionarRecuerda: escribimos las matrices fila a fila, separando las filas con punto y coma.
Asocia cada matriz con su tipo.
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Sentido numérico
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
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Repasar: Sentido numérico
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Recuerda: escribimos las matrices fila a fila, separando las filas con punto y coma.
Asocia cada matriz con su tipo.- 1. (2 0; 0 −5)
- 2. (1 0; 0 1)
- 3. (1 4; 0 3)
- 4. (1 7; 7 2)
- 5. (0 3; −3 0)
- A. Simétrica
- B. Triangular superior
- C. Antisimétrica
- D. Diagonal (no identidad)
- E. Identidad
Ejercicio 2
Recuerda: aij es el elemento de la fila i y la columna j.
¿Cuánto vale a23 en la matriz A = (4 1 7; 2 5 9)?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: solo se suman matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.
Calcula A + B con A = (1 −2; 3 0) y B = (2 5; −1 4).- (3 3; 2 4)
- (2 −10; −3 0)
- (−1 −7; 4 −4)
- (3 3; 4 4)
Ejercicio 4 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: kA multiplica cada elemento por k, e I = (1 0; 0 1) solo tiene unos en la diagonal.
Calcula 3A − 2I con A = (1 2; 0 −1).- (1 6; 0 −5)
- (1 4; −2 −5)
- (5 6; 0 −1)
- (1 6; 0 −3)
Ejercicio 5 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: la traspuesta At cambia filas por columnas; si A es m × n, At es n × m.
Calcula la traspuesta de A = (1 2 3; 4 5 6).- (1 4; 2 5; 3 6)
- (1 2 3; 4 5 6)
- (6 5 4; 3 2 1)
- (4 5 6; 1 2 3)
Ejercicio 6 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: A · B existe si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
Si A y B son dos matrices de dimensión 2 × 3, se puede calcular A · B.VerdaderoFalso
Ejercicio 7 — Completa los huecos.
Recuerda: el elemento (i, j) de A · B es la fila i de A por la columna j de B.
Completa A · B con A = (2 1; 0 3) y B = (1 4; 2 −1).A · B = ( ; )
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: el producto de matrices no es conmutativo.
¿A qué es igual (A · B)t?- Bt · At
- At · Bt
- A · B
- B · A
Ejercicio 9
Recuerda: para calcular Aⁿ se calculan A², A³…, se busca una regularidad y se comprueba.
Sea A = (1 0; 2 1). ¿Cuánto vale el elemento de la fila 2 y la columna 1 de A10?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10
Recuerda: con operaciones por filas se escalona la matriz; el rango es el número de filas no nulas.
Calcula el rango de A = (1 −1 2; 2 1 1; 3 0 3).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
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Repasar: Sentido numérico
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 1 → D · 2 → E · 3 → B · 4 → A · 5 → C
Se mira dónde están los ceros y cómo se relaciona la matriz con su traspuesta.
- (2 0; 0 −5): ceros fuera de la diagonal
- (1 0; 0 1): diagonal con unos, es la identidad I
- (1 4; 0 3): ceros por debajo de la diagonal
- (1 7; 7 2): At = A
- (0 3; −3 0): At = −A, con la diagonal nula
Ejercicio 2
Respuesta: 9
Primero se elige la fila (2) y luego la columna (3).
- Fila 2: (2 5 9)
- Tercer elemento de esa fila: 9
- a23 = 9
Ejercicio 3
Respuesta: (3 3; 2 4)
Se suman los elementos que ocupan la misma posición.
- Fila 1: 1 + 2 = 3 y −2 + 5 = 3
- Fila 2: 3 + (−1) = 2 y 0 + 4 = 4
- A + B = (3 3; 2 4)
Ejercicio 4
Respuesta: (1 6; 0 −5)
Restar 2I solo afecta a la diagonal: no se resta 2 a todos los elementos.
- 3A = (3 6; 0 −3)
- 2I = (2 0; 0 2)
- 3A − 2I = (3 − 2 6 − 0; 0 − 0 −3 − 2) = (1 6; 0 −5)
Ejercicio 5
Respuesta: (1 4; 2 5; 3 6)
La primera fila de A pasa a ser la primera columna de At, y así sucesivamente. A es 2 × 3, así que At es 3 × 2.
- Fila 1 de A, (1 2 3), es la columna 1 de At
- Fila 2 de A, (4 5 6), es la columna 2 de At
- At = (1 4; 2 5; 3 6)
Ejercicio 6
Respuesta: Faux
Falso. A tiene 3 columnas y B tiene 2 filas: no coinciden, así que el producto no existe (aunque sí existe A + B).
- Columnas de A: 3
- Filas de B: 2
- 3 ≠ 2: A · B no existe
Ejercicio 7
Respuesta: 4 · 7 · 6 · −3
Cada elemento se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando los productos.
- Fila 1 · columna 1: 2 · 1 + 1 · 2 = 4; fila 1 · columna 2: 2 · 4 + 1 · (−1) = 7
- Fila 2 · columna 1: 0 · 1 + 3 · 2 = 6; fila 2 · columna 2: 0 · 4 + 3 · (−1) = −3
- A · B = (4 7; 6 −3)
Ejercicio 8
Respuesta: Bt · At
Al trasponer un producto se trasponen los factores y se invierte su orden.
- (A · B)t = Bt · At
- En general At · Bt es distinto, porque el producto no es conmutativo
Ejercicio 9
Respuesta: 20
Las primeras potencias muestran que el elemento (2, 1) aumenta de 2 en 2.
- A² = (1 0; 2 1) · (1 0; 2 1) = (1 0; 4 1)
- A³ = A² · A = (1 0; 6 1)
- Se conjetura Aⁿ = (1 0; 2n 1); comprobación: Aⁿ · A = (1 0; 2n + 2 1)
- A10 = (1 0; 20 1): el elemento pedido es 20
Ejercicio 10
Respuesta: 2
Se hacen ceros debajo del primer elemento y se observa que las dos filas obtenidas son iguales.
- F2 − 2F1 = (0 3 −3)
- F3 − 3F1 = (0 3 −3)
- Restando las dos nuevas filas queda (0 0 0)
- Matriz escalonada: (1 −1 2; 0 3 −3; 0 0 0): rg(A) = 2
Estos ejercicios repasan paso a paso las matrices y sus operaciones: tipos de matrices, suma, producto por un número, producto de matrices, traspuesta, potencias y rango. Lee el recordatorio de cada enunciado y la corrección completa aunque aciertes: ahí están los métodos. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: aij es el elemento de la fila i y la columna j.
¿Cuánto vale a23 en la matriz A = (4 1 7; 2 5 9)?Ejercicio 3 de 10
Tipo testRecuerda: solo se suman matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.
Calcula A + B con A = (1 −2; 3 0) y B = (2 5; −1 4).Ejercicio 4 de 10
Tipo testRecuerda: kA multiplica cada elemento por k, e I = (1 0; 0 1) solo tiene unos en la diagonal.
Calcula 3A − 2I con A = (1 2; 0 −1).Ejercicio 5 de 10
Tipo testRecuerda: la traspuesta At cambia filas por columnas; si A es m × n, At es n × m.
Calcula la traspuesta de A = (1 2 3; 4 5 6).Ejercicio 6 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: A · B existe si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
Si A y B son dos matrices de dimensión 2 × 3, se puede calcular A · B.Ejercicio 7 de 10
Completar huecosRecuerda: el elemento (i, j) de A · B es la fila i de A por la columna j de B.
Completa A · B con A = (2 1; 0 3) y B = (1 4; 2 −1).Ejercicio 8 de 10
Tipo testRecuerda: el producto de matrices no es conmutativo.
¿A qué es igual (A · B)t?Ejercicio 9 de 10
CálculoRecuerda: para calcular Aⁿ se calculan A², A³…, se busca una regularidad y se comprueba.
Sea A = (1 0; 2 1). ¿Cuánto vale el elemento de la fila 2 y la columna 1 de A10?Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: con operaciones por filas se escalona la matriz; el rango es el número de filas no nulas.
Calcula el rango de A = (1 −1 2; 2 1 1; 3 0 3).