Las matrices son tablas de números que permiten organizar datos y, sobre todo, resolver sistemas de ecuaciones de forma ordenada. Son la puerta de entrada al bloque de álgebra de la PAU: casi todos los ejercicios de determinantes, matriz inversa y sistemas empiezan con operaciones con matrices.
Objetivos
- Reconocer los tipos de matrices (cuadrada, diagonal, identidad, triangular, simétrica…)
- Sumar matrices, multiplicarlas por un número y multiplicarlas entre sí
- Calcular la traspuesta y las potencias de una matriz cuadrada
- Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss
1. Qué es una matriz
Matriz: Una matriz de dimensión m × n es una tabla de números con m filas y n columnas. El elemento aij es el que está en la fila i y en la columna j.
En esta web escribimos las matrices fila a fila, separando las filas con punto y coma: A = (1 2; 3 4) es la matriz cuadrada de orden 2 cuya primera fila es 1 2 y cuya segunda fila es 3 4.
| Tipo | Característica | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cuadrada de orden n | n filas y n columnas | (1 2; 3 4) |
| Diagonal | cuadrada, ceros fuera de la diagonal principal | (2 0; 0 −5) |
| Identidad I | diagonal con unos en la diagonal | (1 0; 0 1) |
| Triangular superior | ceros por debajo de la diagonal | (1 4; 0 3) |
| Simétrica | At = A | (1 7; 7 2) |
| Antisimétrica | At = −A (diagonal nula) | (0 3; −3 0) |
Traspuesta: La traspuesta At se obtiene cambiando filas por columnas. Si A es m × n, At es n × m.
2. Operaciones con matrices
- Suma: solo entre matrices de la misma dimensión; se suman los elementos que ocupan la misma posición.
- Producto por un número: se multiplica cada elemento por ese número.
- Producto A · B: solo es posible si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Si A es m × n y B es n × p, el producto es m × p.
(A · B)ij = fila i de A × columna j de B = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj
Calcular A · B y B · A con A = (1 2; 3 4) y B = (0 1; 1 0)
- Fila 1 de A por columnas de B: 1 · 0 + 2 · 1 = 2 y 1 · 1 + 2 · 0 = 1
- Fila 2 de A por columnas de B: 3 · 0 + 4 · 1 = 4 y 3 · 1 + 4 · 0 = 3
- Por tanto A · B = (2 1; 4 3)
- Del mismo modo, B · A = (3 4; 1 2)
A · B ≠ B · A: el producto de matrices no es conmutativo.
- (A · B)t = Bt · At (se invierte el orden)
- A · I = I · A = A
- A · (B + C) = A · B + A · C y (A · B) · C = A · (B · C)
3. Potencias de una matriz cuadrada
A² = A · A, A³ = A² · A, etc. En la PAU se pide a menudo Aⁿ: se calculan las primeras potencias, se observa una regularidad y se justifica (por inducción o porque aparece la identidad).
Calcular Aⁿ con A = (1 1; 0 1)
- A² = (1 1; 0 1) · (1 1; 0 1) = (1 2; 0 1)
- A³ = A² · A = (1 3; 0 1)
- Se conjetura Aⁿ = (1 n; 0 1) y se comprueba: Aⁿ · A = (1 n + 1; 0 1)
Aⁿ = (1 n; 0 1) para todo n ≥ 1
4. Rango de una matriz por Gauss
Rango: El rango de una matriz es el número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes. Se escribe rg(A).
Método de Gauss: con operaciones elementales (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) se lleva la matriz a forma escalonada. El rango es el número de filas no nulas que quedan.
Rango de A = (1 2 3; 2 4 6; 1 0 1)
- F2 − 2F1 = (0 0 0)
- F3 − F1 = (0 −2 −2)
- Matriz escalonada: (1 2 3; 0 −2 −2; 0 0 0)
Quedan dos filas no nulas: rg(A) = 2
Recuerda
- A · B existe si columnas de A = filas de B; el resultado tiene las filas de A y las columnas de B.
- El producto de matrices no es conmutativo: cuidado con (A + B)².
- (A · B)t = Bt · At.
- Para Aⁿ: calcular A², A³…, buscar la regularidad y justificarla.
- El rango es el número de filas no nulas tras escalonar por Gauss.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.