Ejercicio 1 de 10
CálculoRecuerda: en el infinito, si numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
Calcula límx→∞
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Sentido de la medida: medición y cambio
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
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Repasar: Sentido de la medida: medición y cambio
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1
Recuerda: en el infinito, si numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
Calcula límx→∞Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Recuerda: una indeterminación 0/0 con polinomios se resuelve factorizando y simplificando.
Calcula límx→1Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: una asíntota vertical x = a suele estar donde se anula el denominador sin anularse el numerador.
¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = ?- x = 3
- x = −2
- y = 1
- x = 1
Ejercicio 4
Recuerda: una función a trozos es continua en el punto de unión si los dos límites laterales coinciden con el valor de la función.
Halla a para que f sea continua en x = 1: f(x) = 2x + a si x < 1; f(x) = x² + 3 si x ≥ 1Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Recuerda las derivadas de las funciones elementales y la regla de la cadena.
Asocia cada función con su derivada.- 1. x⁵
- 2. ln x
- 3. e3x
- 4. sen x
- 5. √x
- A.
- B.
- C. 5x⁴
- D. cos x
- E. 3e3x
Ejercicio 6
Recuerda la regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).
Sea f(x) = (x² + 1)³. Calcula f'(1).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7 — Completa los huecos.
Recuerda: la recta tangente en x = a es y − f(a) = f'(a) · (x − a).
Completa la tangente a f(x) = x² − 1 en x = 2.y = x −
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: si f'(a) = 0 y f''(a) < 0 hay un máximo relativo; si f''(a) > 0, un mínimo relativo.
¿Cuáles son los extremos relativos de f(x) = x³ − 3x²?- Máximo relativo en (0, 0) y mínimo relativo en (2, −4)
- Mínimo relativo en (0, 0) y máximo relativo en (2, −4)
- Máximo relativo en (2, −4) y ningún mínimo
- No tiene extremos relativos
Ejercicio 9 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: ∫ xⁿ dx = + C (n ≠ −1), y la integral de una suma es la suma de las integrales.
Calcula ∫ (3x² + 4x − 1) dx- x³ + 2x² − x + C
- 6x + 4 + C
- x³ + 4x² − x + C
- 3x³ + 4x² − x + C
Ejercicio 10
Recuerda la regla de Barrow: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Si f ≥ 0 en [a, b], la integral es el área bajo la curva.
Calcula el área limitada por y = x² + 1, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 3.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… u²
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Repasar: Sentido de la medida: medición y cambio
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 0,5
Los dos polinomios son de grado 2: el límite es el cociente de los coeficientes de x².
- Grado del numerador = grado del denominador = 2
- Límite = = = 0,5
Ejercicio 2
Respuesta: 2
Al sustituir x = 1 sale 0/0. Se factoriza x² − 1 como diferencia de cuadrados.
- x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
- = x + 1 si x ≠ 1
- límx→1 (x + 1) = 2
Ejercicio 3
Respuesta: x = 3
El denominador se anula en x = 3 y allí el numerador vale 5 ≠ 0, así que f tiende a ±∞. y = 1 es la asíntota horizontal, no la vertical.
- x − 3 = 0 ⟺ x = 3
- Numerador en x = 3: 3 + 2 = 5 ≠ 0
- límx→3 f(x) = ±∞: asíntota vertical x = 3
Ejercicio 4
Respuesta: 2
Se igualan el límite por la izquierda y el valor f(1).
- límx→1⁻ f(x) = 2 + a
- límx→1⁺ f(x) = f(1) = 1 + 3 = 4
- 2 + a = 4 ⟹ a = 2
Ejercicio 5
Respuesta: 1 → C · 2 → A · 3 → E · 4 → D · 5 → B
Son derivadas inmediatas; en e3x la regla de la cadena añade el factor 3, derivada del exponente.
- (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
- (ln x)' =
- (ef)' = f' · ef
- (sen x)' = cos x
- (√x)' =
Ejercicio 6
Respuesta: 24
Se deriva la potencia y se multiplica por la derivada de lo de dentro.
- f'(x) = 3(x² + 1)² · 2x
- f'(1) = 3 · 2² · 2 = 24
Ejercicio 7
Respuesta: 4 · 5
Hacen falta el punto de tangencia (2, f(2)) y la pendiente f'(2).
- f(2) = 4 − 1 = 3
- f'(x) = 2x, luego f'(2) = 4
- y − 3 = 4(x − 2) ⟹ y = 4x − 5
Ejercicio 8
Respuesta: Máximo relativo en (0, 0) y mínimo relativo en (2, −4)
Se resuelve f'(x) = 0 y se mira el signo de f'' en cada punto crítico.
- f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⟺ x = 0 o x = 2
- f''(x) = 6x − 6: f''(0) = −6 < 0 (máximo); f''(2) = 6 > 0 (mínimo)
- f(0) = 0 y f(2) = 8 − 12 = −4
Ejercicio 9
Respuesta: x³ + 2x² − x + C
Se integra término a término. Para comprobar, se deriva el resultado: debe salir la función de partida. 6x + 4 es la derivada, no la primitiva.
- ∫ 3x² dx = x³
- ∫ 4x dx = 2x²
- ∫ (−1) dx = −x
- Resultado: x³ + 2x² − x + C
Ejercicio 10
Respuesta: 12 u²
La función x² + 1 es siempre positiva, así que el área es directamente la integral definida.
- Primitiva: F(x) = + x
- F(3) − F(0) = (9 + 3) − 0 = 12
- Área = 12 u²
Estos ejercicios repasan paso a paso el análisis: límites e indeterminaciones, asíntotas, continuidad, derivadas, recta tangente, extremos, primitivas y áreas con la regla de Barrow. Lee el recordatorio de cada enunciado y la corrección completa aunque aciertes: ahí están los métodos. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: una indeterminación 0/0 con polinomios se resuelve factorizando y simplificando.
Calcula límx→1Ejercicio 3 de 10
Tipo testRecuerda: una asíntota vertical x = a suele estar donde se anula el denominador sin anularse el numerador.
¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = ?Ejercicio 4 de 10
CálculoRecuerda: una función a trozos es continua en el punto de unión si los dos límites laterales coinciden con el valor de la función.
Halla a para que f sea continua en x = 1: f(x) = 2x + a si x < 1; f(x) = x² + 3 si x ≥ 1Ejercicio 5 de 10
RelacionarRecuerda las derivadas de las funciones elementales y la regla de la cadena.
Asocia cada función con su derivada.Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda la regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).
Sea f(x) = (x² + 1)³. Calcula f'(1).Ejercicio 7 de 10
Completar huecosRecuerda: la recta tangente en x = a es y − f(a) = f'(a) · (x − a).
Completa la tangente a f(x) = x² − 1 en x = 2.Ejercicio 8 de 10
Tipo testRecuerda: si f'(a) = 0 y f''(a) < 0 hay un máximo relativo; si f''(a) > 0, un mínimo relativo.
¿Cuáles son los extremos relativos de f(x) = x³ − 3x²?Ejercicio 9 de 10
Tipo testRecuerda: ∫ xⁿ dx = + C (n ≠ −1), y la integral de una suma es la suma de las integrales.
Calcula ∫ (3x² + 4x − 1) dxEjercicio 10 de 10
CálculoRecuerda la regla de Barrow: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Si f ≥ 0 en [a, b], la integral es el área bajo la curva.
Calcula el área limitada por y = x² + 1, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 3.