Integrar es el proceso inverso de derivar: buscar una función cuya derivada es la dada. La integral definida permite calcular áreas de recintos limitados por curvas, la pregunta de integrales más frecuente en la PAU. Para llegar a ella hay que dominar las primitivas y sus métodos.
Objetivos
- Calcular primitivas inmediatas y aplicar la linealidad
- Integrar por cambio de variable, por partes y funciones racionales sencillas
- Calcular integrales definidas con la regla de Barrow
- Calcular el área entre una curva y el eje OX y entre dos curvas
1. Primitivas inmediatas
Primitiva: F es una primitiva de f si F'(x) = f(x). Todas las primitivas difieren en una constante: ∫ f(x) dx = F(x) + C.
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | + C |
| ln|x| + C | |
| eˣ | eˣ + C |
| sen x | −cos x + C |
| cos x | sen x + C |
| ln|f(x)| + C | |
| f'(x) · ef(x) | ef(x) + C |
2. Métodos de integración
Cambio de variable: si aparece una función y su derivada, se llama t a la función. Ejemplo: ∫ cos x · sen² x dx, con t = sen x, dt = cos x dx, da = + C.
∫ u dv = u · v − ∫ v du
∫ x eˣ dx por partes
- u = x, dv = eˣ dx ⟹ du = dx, v = eˣ
- ∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx
∫ x eˣ dx = x eˣ − eˣ + C
Racional: ∫ dx
- x² − 1 = (x − 1)(x + 1); se busca = +
- 1 = A(x + 1) + B(x − 1): x = 1 da A = ; x = −1 da B = −
∫ dx = ln|x − 1| − ln|x + 1| + C
3. Integral definida y regla de Barrow
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
∫02 (3x² − 2x) dx
- Primitiva: F(x) = x³ − x²
- F(2) − F(0) = (8 − 4) − 0
∫02 (3x² − 2x) dx = 4
Teorema fundamental del cálculo: Si f es continua, F(x) = ∫ax f(t) dt es derivable y F'(x) = f(x). Con la regla de la cadena: si G(x) = ∫ag(x) f(t) dt, entonces G'(x) = f(g(x)) · g'(x).
4. Cálculo de áreas
- Busca los puntos de corte de la curva con el eje (o de las dos curvas entre sí).
- Divide el intervalo en trozos donde la función no cambia de signo.
- Integra en cada trozo y suma los valores absolutos.
Área entre y = x² − 1, el eje OX y las rectas x = −1 y x = 2
- Cortes con OX: x = −1 y x = 1
- ∫−11 (x² − 1) dx = − (la curva está bajo el eje)
- ∫12 (x² − 1) dx =
- Área = +
Área = u²
Área entre f y g en [a, b] = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
Recuerda
- ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C y ∫ f' ef dx = ef + C.
- Partes: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
- Barrow: ∫ab f = F(b) − F(a).
- Áreas: cortes, trozos de signo constante y valores absolutos.
- Teorema fundamental: (∫ax f(t) dt)' = f(x).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.