El análisis de la PAU empieza por los límites: sirven para estudiar la continuidad, encontrar asíntotas y, después, definir la derivada. Aquí repasamos cómo resolver cada indeterminación, cómo estudiar la continuidad de una función a trozos y cómo usar el teorema de Bolzano para demostrar que una ecuación tiene solución.
Objetivos
- Resolver las indeterminaciones ∞/∞, 0/0, ∞ − ∞ y 1^{∞}
- Calcular las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Estudiar la continuidad de una función y clasificar sus discontinuidades
- Aplicar el teorema de Bolzano para probar la existencia de raíces
1. Límites e indeterminaciones
| Indeterminación | Estrategia habitual |
|---|---|
| ∞/∞ (cociente de polinomios) | comparar grados o dividir entre la mayor potencia |
| 0/0 (polinomios) | factorizar y simplificar (o L'Hôpital) |
| ∞ − ∞ con raíces | multiplicar y dividir por el conjugado |
| 1∞ | lím fg = elím g · (f − 1) |
| 0 · ∞ | transformar en un cociente |
límx→2
- Sustituyendo: 0/0
- (x² − 4) = (x − 2)(x + 2); se simplifica
- límx→2 (x + 2) = 4
El límite vale 4
límx→∞ (1 + )x
- Es del tipo 1∞
- elím x · (2/x) = e2
El límite vale e²
2. Asíntotas
- Vertical x = a: si límx→a f(x) = ±∞ (suele estar donde se anula el denominador).
- Horizontal y = L: si límx→±∞ f(x) = L.
- Oblicua y = mx + n: m = lím (finito y no nulo) y n = lím (f(x) − mx).
Asíntotas de f(x) =
- Vertical: x = 1 (el numerador vale 2 ≠ 0)
- No hay horizontal: el grado del numerador es mayor
- Oblicua: x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, luego f(x) = x + 1 +
Asíntota oblicua y = x + 1
3. Continuidad
Función continua en a: f es continua en x = a si existe f(a), existe límx→a f(x) y ambos coinciden. En una función a trozos, se comparan los límites laterales en el punto de unión.
| Discontinuidad | Qué ocurre |
|---|---|
| Evitable | el límite existe y es finito, pero no coincide con f(a) o f(a) no existe |
| De salto finito | los límites laterales son finitos y distintos |
| De salto infinito (asintótica) | algún límite lateral es infinito |
Hallar a para que f sea continua: f(x) = x² + a si x ≤ 1; f(x) = 2x + 1 si x > 1
- límx→1⁻ f(x) = 1 + a = f(1)
- límx→1⁺ f(x) = 3
- 1 + a = 3
a = 2
4. Teorema de Bolzano
f continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0 ⟹ existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0
La ecuación x³ + x − 1 = 0 tiene una solución en (0, 1)
- f(x) = x³ + x − 1 es polinómica, luego continua en [0, 1]
- f(0) = −1 < 0 y f(1) = 1 > 0
- Por Bolzano existe c ∈ (0, 1) con f(c) = 0
Otros resultados: una función continua en [a, b] alcanza un máximo y un mínimo absolutos (Weierstrass) y toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b) (valores intermedios).
Recuerda
- 1∞: lím fg = elím g · (f − 1).
- ∞ − ∞ con raíces: multiplicar por el conjugado.
- Continuidad en a: f(a) = límx→a⁻ f(x) = límx→a⁺ f(x).
- Bolzano: continua y cambio de signo ⟹ al menos una raíz.
- Asíntota oblicua: m = lím f(x)/x, n = lím (f(x) − mx).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.