La derivada mide la tasa de variación instantánea de una función: la pendiente de su recta tangente. En la PAU se pide derivar con soltura, estudiar si una función a trozos es derivable, calcular límites con la regla de L'Hôpital y aplicar los teoremas de Rolle y del valor medio.
Objetivos
- Calcular la derivada en un punto mediante la definición
- Estudiar la derivabilidad de funciones a trozos
- Derivar con las reglas y la regla de la cadena; hallar rectas tangentes
- Aplicar la regla de L'Hôpital a indeterminaciones 0/0 e ∞/∞
- Enunciar y aplicar los teoremas de Rolle y del valor medio
1. Derivada y derivabilidad
f'(a) = límh→0
Derivada de f(x) = x² en a = 3 por la definición
- f(3 + h) − f(3) = 9 + 6h + h² − 9 = 6h + h²
- = 6 + h
- límh→0 (6 + h) = 6
f'(3) = 6
Hallar a y b para que f sea derivable: f(x) = ax² + b si x ≤ 1; f(x) = 4x − 1 si x > 1
- Continuidad en 1: a + b = 3
- Derivadas laterales: f'(1⁻) = 2a y f'(1⁺) = 4, luego 2a = 4
- a = 2 y b = 1
f es derivable en ℝ si a = 2 y b = 1
2. Reglas de derivación y recta tangente
| Función | Derivada |
|---|---|
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| eˣ / aˣ | eˣ / aˣ · ln a |
| ln x | |
| sen x / cos x | cos x / −sen x |
| tg x | 1 + tg² x = |
| √x |
- Producto: (f · g)' = f'g + fg'
- Cociente: ()' =
- Regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Ejemplo: (ln(x² + 1))' =
Recta tangente en x = a: y − f(a) = f'(a) · (x − a)
Tangente a f(x) = x³ − 2x en x = 1
- f(1) = −1
- f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1
- y + 1 = 1 · (x − 1)
y = x − 2
3. Regla de L'Hôpital
Si lím es una indeterminación 0/0 o ∞/∞ y existe lím , entonces ambos límites coinciden. Se deriva numerador y denominador por separado (no es la derivada del cociente).
límx→0
- 0/0: L'Hôpital da lím
- Otra vez 0/0: lím =
El límite vale 1/2
4. Teoremas de Rolle y del valor medio
Teorema de Rolle: Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), existe c ∈ (a, b) con f'(c) = 0 (tangente horizontal).
Teorema del valor medio (Lagrange): Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe c ∈ (a, b) con f'(c) = : la tangente en c es paralela a la cuerda.
Punto del valor medio para f(x) = x² en [0, 2]
- = = 2
- f'(c) = 2c = 2
c = 1
Recuerda
- f'(a) = límh→0 (f(a + h) − f(a))/h.
- A trozos: continuidad + derivadas laterales iguales.
- Tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).
- L'Hôpital: solo con 0/0 o ∞/∞, derivando arriba y abajo por separado.
- Rolle: f(a) = f(b) ⟹ f'(c) = 0. Valor medio: f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.