Matemáticas · 2.º de Bachillerato

Resumen: Derivadas: derivabilidad, L'Hôpital y teoremas de Rolle y del valor medio

Derivada en un punto, derivabilidad de funciones a trozos, reglas de derivación, recta tangente, regla de L'Hôpital y teoremas de Rolle y del valor medio.

Derivar con las reglas y la cadena, estudiar la derivabilidad a trozos, usar L'Hôpital y los teoremas de Rolle y del valor medio.

Derivabilidad

  • f'(a) = límh→0 (f(a + h) − f(a))/h.
  • A trozos: continua y f'(a⁻) = f'(a⁺).
  • Derivable ⟹ continua; no al revés.

Cálculo

  • (fg)' = f'g + fg'; (f/g)' = (f'g − fg')/g².
  • Cadena: (f∘g)' = f'(g) · g'.
  • Tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).

L'Hôpital y teoremas

  • L'Hôpital: 0/0 o ∞/∞, derivar arriba y abajo por separado.
  • Rolle: f(a) = f(b) ⟹ ∃ c, f'(c) = 0.
  • Valor medio: f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

Errores frecuentes

  • Aplicar L'Hôpital sin indeterminación.
  • Derivar el cociente completo en L'Hôpital.
  • Estudiar la derivabilidad a trozos sin comprobar antes la continuidad.