La derivada dice cómo cambia una función: dónde crece, dónde alcanza un máximo o un mínimo y cómo se curva. Con ella se representan funciones y se resuelven problemas de optimización, uno de los clásicos de la PAU: obtener el mayor volumen, el menor coste o la distancia mínima.
Objetivos
- Estudiar la monotonía y hallar extremos relativos con f' y f''
- Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión
- Hallar extremos absolutos en un intervalo cerrado
- Plantear y resolver problemas de optimización
- Representar gráficamente una función
1. Monotonía y extremos relativos
- f'(x) > 0 en un intervalo ⟹ f creciente; f'(x) < 0 ⟹ f decreciente.
- Los extremos relativos se buscan entre los puntos críticos (f'(x) = 0) y los puntos donde f no es derivable.
- Criterio del signo: si f' pasa de + a −, máximo; de − a +, mínimo.
- Criterio de la segunda derivada: f'(a) = 0 y f''(a) < 0 ⟹ máximo; f''(a) > 0 ⟹ mínimo.
Estudiar f(x) = x³ − 3x
- f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⟺ x = −1 o x = 1
- f' > 0 en (−∞, −1) y (1, +∞): creciente; f' < 0 en (−1, 1): decreciente
- f''(x) = 6x: f''(−1) = −6 < 0, máximo en (−1, 2); f''(1) = 6 > 0, mínimo en (1, −2)
Máximo relativo (−1, 2) y mínimo relativo (1, −2)
2. Curvatura y puntos de inflexión
- f''(x) > 0: la gráfica es cóncava hacia arriba (forma ∪).
- f''(x) < 0: la gráfica es cóncava hacia abajo (forma ∩).
- Punto de inflexión: donde f'' cambia de signo (la curvatura cambia).
En f(x) = x³ − 3x, f''(x) = 6x cambia de signo en 0: el punto (0, 0) es de inflexión.
3. Extremos absolutos y optimización
En un intervalo cerrado [a, b], una función continua alcanza máximo y mínimo absolutos (Weierstrass). Se comparan los valores de f en los puntos críticos interiores y en los extremos a y b.
- Identifica la magnitud que hay que optimizar y escríbela con dos variables.
- Usa la condición del enunciado para dejarla en función de una sola variable.
- Determina el dominio razonable de esa variable.
- Deriva, iguala a 0 y comprueba que es máximo o mínimo.
- Responde a la pregunta con unidades.
De todos los rectángulos de perímetro 20 m, ¿cuál tiene área máxima?
- Lados x e y con 2x + 2y = 20, luego y = 10 − x
- Área A(x) = x(10 − x) = 10x − x², con 0 < x < 10
- A'(x) = 10 − 2x = 0 ⟺ x = 5; A''(x) = −2 < 0: máximo
El cuadrado de 5 m de lado, con 25 m² de área
4. Representación gráfica
- Dominio y simetrías (par: f(−x) = f(x); impar: f(−x) = −f(x)).
- Puntos de corte con los ejes.
- Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
- Monotonía y extremos relativos (f').
- Curvatura y puntos de inflexión (f'').
Recuerda
- Signo de f' ⟹ crecimiento; cambio de signo de f' ⟹ extremo.
- f'(a) = 0 y f''(a) < 0 ⟹ máximo; f''(a) > 0 ⟹ mínimo.
- Cambio de signo de f'' ⟹ punto de inflexión.
- Extremos absolutos en [a, b]: comparar puntos críticos y extremos del intervalo.
- Optimización: una función de una variable, su dominio, derivada y comprobación.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.