Matemáticas · 2.º de Bachillerato

Ejercicios: Aplicaciones de la derivada: extremos, curvatura y optimización

24 ejercicios con corrección detallada, en 3 series. Sin registro: tu progreso se queda en tu dispositivo.

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Aplicaciones de la derivada: extremos, curvatura y optimización — Practicar

Hoja de ejercicios

Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10

Haz siempre la tabla de signos: es la forma más segura de clasificar extremos.

Ejercicio 1 — Marca la respuesta correcta.
Si f'(x) > 0 para todo x de un intervalo, entonces en ese intervalo f es:
- creciente
- decreciente
- cóncava hacia arriba
- constante
Ejercicio 2
Halla el valor del máximo relativo de f(x) = x³ − 3x.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3
Halla la abscisa del punto de inflexión de f(x) = x³ − 6x² + 1.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 4 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Si f'(a) = 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo relativo en x = a.
VerdaderoFalso
Ejercicio 5 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Asocia cada condición con su conclusión.
1. 1. f'(a) = 0 y f''(a) < 0
2. 2. f'(a) = 0 y f''(a) > 0
3. 3. f'' cambia de signo en a
4. 4. f' > 0 en (a, b)
- A. Punto de inflexión en a
- B. Mínimo relativo en a
- C. Máximo relativo en a
- D. f creciente en (a, b)
Ejercicio 6
De todos los rectángulos de perímetro 20 m, halla el área máxima.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… m²
Ejercicio 7
Sea f(x) = x² eˣ. Halla la abscisa de su máximo relativo.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 8 — Completa los huecos.
Completa.
Si f''(x) > 0 en un intervalo, la gráfica de f es cóncava hacia , con forma de ∪.
Ejercicio 9
¿Cuántos puntos críticos tiene f(x) = x⁴ − 2x²?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10
Halla el valor mínimo de f(x) = x + para x > 0.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………

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Aplicaciones de la derivada: extremos, curvatura y optimización — Practicar

Solucionario detallado — para familias y docentes

Ejercicio 1
Respuesta: creciente
El signo de la primera derivada indica el crecimiento: f' > 0 ⟹ f creciente.
Ejercicio 2
Respuesta: 2
Los puntos críticos son x = ±1; f''(−1) = −6 < 0, así que el máximo está en x = −1.
1. f(−1) = −1 + 3 = 2
Ejercicio 3
Respuesta: 2
f''(x) = 6x − 12 se anula en x = 2 y cambia de signo allí.
Ejercicio 4
Respuesta: Faux
Falso: f(x) = x³ cumple f'(0) = 0 y es creciente en todo ℝ. Hace falta que f' cambie de signo.
Ejercicio 5
Respuesta: 1 → C · 2 → B · 3 → A · 4 → D
La primera derivada informa del crecimiento; la segunda, de la curvatura.
Ejercicio 6
Respuesta: 25 m²
A(x) = x(10 − x); A'(x) = 10 − 2x = 0 ⟺ x = 5.
1. A''(5) = −2 < 0: máximo
2. A = 5 · 5 = 25 m²
Ejercicio 7
Respuesta: -2
f'(x) = 2x eˣ + x² eˣ = x(x + 2)eˣ.
1. Puntos críticos: x = 0 y x = −2
2. f' > 0 en (−∞, −2), f' < 0 en (−2, 0), f' > 0 en (0, +∞)
3. Máximo en x = −2 y mínimo en x = 0
Ejercicio 8
Respuesta: arriba
Segunda derivada positiva: la pendiente aumenta y la gráfica «sujeta agua».
Ejercicio 9
Respuesta: 3
f'(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1) se anula en −1, 0 y 1.
Ejercicio 10
Respuesta: 4
f'(x) = 1 − 4/x² = 0 ⟺ x = 2 (x > 0).
1. f''(x) = 8/x³ > 0: mínimo
2. f(2) = 2 + 2 = 4

Haz siempre la tabla de signos: es la forma más segura de clasificar extremos.

Ejercicios corregidos: 0 / 10

Ejercicio 1 de 10
Tipo test
Si f'(x) > 0 para todo x de un intervalo, entonces en ese intervalo f es:
Elige una respuesta
crecientedecrecientecóncava hacia arribaconstante
Ejercicio 2 de 10
Cálculo
Halla el valor del máximo relativo de f(x) = x³ − 3x.
Tu respuesta
Ejercicio 3 de 10
Cálculo
Halla la abscisa del punto de inflexión de f(x) = x³ − 6x² + 1.
Tu respuesta
Ejercicio 4 de 10
Verdadero o falso
Si f'(a) = 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo relativo en x = a.
¿Verdadero o falso?
VerdaderoFalso
Ejercicio 5 de 10
Relacionar
Asocia cada condición con su conclusión.
- f'(a) = 0 y f''(a) < 0
- f'(a) = 0 y f''(a) > 0
- f'' cambia de signo en a
- f' > 0 en (a, b)
Ejercicio 6 de 10
Cálculo
De todos los rectángulos de perímetro 20 m, halla el área máxima.
Tu respuestam²
Ejercicio 7 de 10
Cálculo
Sea f(x) = x² eˣ. Halla la abscisa de su máximo relativo.
Tu respuesta
Ejercicio 8 de 10
Completar huecos
Completa.
Si f''(x) > 0 en un intervalo, la gráfica de f es cóncava hacia , con forma de ∪.
Ejercicio 9 de 10
Cálculo
¿Cuántos puntos críticos tiene f(x) = x⁴ − 2x²?
Tu respuesta
Ejercicio 10 de 10
Cálculo
Halla el valor mínimo de f(x) = x + para x > 0.
Tu respuesta