Repasar · Matemáticas 2.º Bach.

Sentido algebraico

10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.

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Repasar: Sentido algebraico

Kit de repaso

Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10

Ejercicio 1
Recuerda: |a b; c d| = a · d − b · c.
Calcula |3 2; 1 4|.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Recuerda la regla de Sarrus: se suman los productos de la diagonal principal y sus dos paralelas, y se restan los de la diagonal secundaria y sus paralelas.
Calcula |1 0 2; 3 1 0; 0 2 1|.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Recuerda las propiedades de los determinantes.
Asocia cada transformación de una matriz cuadrada con su efecto sobre el determinante.
1. 1. Se intercambian dos filas
2. 2. Se multiplica una fila por k
3. 3. Se suma a una fila un múltiplo de otra
4. 4. Dos filas son proporcionales
- A. El determinante queda multiplicado por k
- B. El determinante no cambia
- C. El determinante cambia de signo
- D. El determinante vale 0
Ejercicio 4 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: si A es de orden n, |k · A| = kⁿ · |A|.
Si A es de orden 3 y |A| = 2, entonces |3A| = 6.
VerdaderoFalso
Ejercicio 5 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0.
¿Para qué valores de k es invertible A = (2 4; 1 k)?
- k ≠ 2
- k ≠ 0
- k = 2
- k ≠ −2
Ejercicio 6 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: (a b; c d)⁻¹ = · (d −b; −c a).
Calcula la inversa de A = (2 1; 3 2).
- (2 −1; −3 2)
- (−2 1; 3 −2)
- (2 3; 1 2)
- ( 1; )
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: con matrices no se divide; se multiplica por la inversa por el mismo lado en los dos miembros.
Si A es invertible y X · A = B, ¿cuánto vale X?
- X = B · A⁻¹
- X = A⁻¹ · B
- X = B / A
- X = B − A
Ejercicio 8 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Recuerda el teorema de Rouché-Frobenius: A es la matriz de coeficientes, A* la ampliada y n el número de incógnitas.
Asocia cada situación con el tipo de sistema.
1. 1. rg(A) = rg(A*) = n
2. 2. rg(A) = rg(A*) < n
3. 3. rg(A) ≠ rg(A*)
- A. Compatible indeterminado (SCI)
- B. Incompatible (SI)
- C. Compatible determinado (SCD)
Ejercicio 9 — Completa los huecos.
Recuerda la regla de Cramer: x = |A_x|/|A|, donde A_x es A con la columna de x sustituida por los términos independientes.
Resuelve x + y = 5, 2x − y = 1 completando los valores.
|A| = ; x = ; y =
Ejercicio 10
Recuerda: para discutir un sistema con parámetro, se buscan los valores que anulan |A|; para los demás, el sistema es SCD.
Considera x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, x + 3y + az = 3. ¿Para qué valor de a el sistema no es compatible determinado?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………

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Repasar: Sentido algebraico

Solucionario detallado — para familias y docentes

Ejercicio 1
Respuesta: 10
Producto de la diagonal principal menos producto de la diagonal secundaria.
1. 3 · 4 − 2 · 1 = 12 − 2 = 10
Ejercicio 2
Respuesta: 13
Se aplica Sarrus con cuidado, término a término.
1. Términos positivos: 1 · 1 · 1 + 0 · 0 · 0 + 2 · 3 · 2 = 1 + 0 + 12 = 13
2. Términos negativos: 2 · 1 · 0 + 1 · 0 · 2 + 0 · 3 · 1 = 0
3. Determinante: 13 − 0 = 13
Ejercicio 3
Respuesta: 1 → C · 2 → A · 3 → B · 4 → D
Estas propiedades permiten hacer ceros antes de calcular y detectar determinantes nulos sin hacer cuentas.
1. Intercambiar dos filas cambia el signo
2. Multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k
3. Sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia
4. Filas proporcionales: determinante nulo
Ejercicio 4
Respuesta: Faux
Falso. Multiplicar A por 3 multiplica por 3 cada una de sus tres filas, y cada fila multiplica el determinante por 3.
1. |3A| = 3³ · |A|
2. = 27 · 2 = 54
Ejercicio 5
Respuesta: k ≠ 2
Se calcula el determinante en función de k y se excluyen los valores que lo anulan.
1. |A| = 2k − 4
2. 2k − 4 = 0 ⟺ k = 2
3. A es invertible si k ≠ 2
Ejercicio 6
Respuesta: (2 −1; −3 2)
Se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre |A|.
1. |A| = 2 · 2 − 1 · 3 = 1 ≠ 0
2. A⁻¹ = · (2 −1; −3 2) = (2 −1; −3 2)
3. Comprobación: A · A⁻¹ = (1 0; 0 1)
Ejercicio 7
Respuesta: X = B · A⁻¹
A está a la derecha de X, así que se multiplica por A⁻¹ por la derecha en los dos miembros.
1. X · A · A⁻¹ = B · A⁻¹
2. X · I = B · A⁻¹
3. X = B · A⁻¹ (A⁻¹ · B sería otra matriz, porque el producto no es conmutativo)
Ejercicio 8
Respuesta: 1 → C · 2 → A · 3 → B
El sistema es compatible si y solo si rg(A) = rg(A*); en ese caso, es determinado si el rango es igual al número de incógnitas.
1. Rangos iguales y máximos: solución única
2. Rangos iguales y menores que n: infinitas soluciones, con n − rg(A) parámetros
3. Rangos distintos: sin solución
Ejercicio 9
Respuesta: −3 · 2 · 3
Como |A| ≠ 0, el sistema es compatible determinado y se puede aplicar Cramer.
1. |A| = |1 1; 2 −1| = −1 − 2 = −3
2. |A_x| = |5 1; 1 −1| = −5 − 1 = −6, luego x = = 2
3. |A_y| = |1 5; 2 1| = 1 − 10 = −9, luego y = = 3
4. Comprobación: 2 + 3 = 5 y 4 − 3 = 1
Ejercicio 10
Respuesta: 5
Se calcula |A| en función de a. Si |A| ≠ 0, rg(A) = rg(A*) = 3 y el sistema es SCD; el único valor crítico es el que anula |A|.
1. |A| = |1 1 1; 1 2 3; 1 3 a| = 1 · (2a − 9) − 1 · (a − 3) + 1 · (3 − 2) = a − 5
2. |A| = 0 ⟺ a = 5
3. Para a = 5: F2 − F1 = (0 1 2 | 1) y F3 − F2 = (0 1 2 | 1), filas iguales: rg(A) = rg(A*) = 2 < 3, SCI
4. El sistema es SCD para a ≠ 5 y SCI para a = 5

Estos ejercicios repasan paso a paso el bloque de álgebra: determinantes y sus propiedades, matriz inversa, ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales con el teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer. Lee el recordatorio de cada enunciado y la corrección completa aunque aciertes: ahí están los métodos. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.

Ejercicios corregidos: 0 / 10

Ejercicio 1 de 10
Cálculo
Recuerda: |a b; c d| = a · d − b · c.
Calcula |3 2; 1 4|.
Tu respuesta
Ejercicio 2 de 10
Cálculo
Recuerda la regla de Sarrus: se suman los productos de la diagonal principal y sus dos paralelas, y se restan los de la diagonal secundaria y sus paralelas.
Calcula |1 0 2; 3 1 0; 0 2 1|.
Tu respuesta
Ejercicio 3 de 10
Relacionar
Recuerda las propiedades de los determinantes.
Asocia cada transformación de una matriz cuadrada con su efecto sobre el determinante.
- Se intercambian dos filas
- Se multiplica una fila por k
- Se suma a una fila un múltiplo de otra
- Dos filas son proporcionales
Ejercicio 4 de 10
Verdadero o falso
Recuerda: si A es de orden n, |k · A| = kⁿ · |A|.
Si A es de orden 3 y |A| = 2, entonces |3A| = 6.
¿Verdadero o falso?
VerdaderoFalso
Ejercicio 5 de 10
Tipo test
Recuerda: A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0.
¿Para qué valores de k es invertible A = (2 4; 1 k)?
Elige una respuesta
k ≠ 2k ≠ 0k = 2k ≠ −2
Ejercicio 6 de 10
Tipo test
Recuerda: (a b; c d)⁻¹ = · (d −b; −c a).
Calcula la inversa de A = (2 1; 3 2).
Elige una respuesta
(2 −1; −3 2)(−2 1; 3 −2)(2 3; 1 2)( 1; )
Ejercicio 7 de 10
Tipo test
Recuerda: con matrices no se divide; se multiplica por la inversa por el mismo lado en los dos miembros.
Si A es invertible y X · A = B, ¿cuánto vale X?
Elige una respuesta
X = B · A⁻¹X = A⁻¹ · BX = B / AX = B − A
Ejercicio 8 de 10
Relacionar
Recuerda el teorema de Rouché-Frobenius: A es la matriz de coeficientes, A* la ampliada y n el número de incógnitas.
Asocia cada situación con el tipo de sistema.
- rg(A) = rg(A*) = n
- rg(A) = rg(A*) < n
- rg(A) ≠ rg(A*)
Ejercicio 9 de 10
Completar huecos
Recuerda la regla de Cramer: x = |A_x|/|A|, donde A_x es A con la columna de x sustituida por los términos independientes.
Resuelve x + y = 5, 2x − y = 1 completando los valores.
|A| = ; x = ; y =
Ejercicio 10 de 10
Cálculo
Recuerda: para discutir un sistema con parámetro, se buscan los valores que anulan |A|; para los demás, el sistema es SCD.
Considera x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, x + 3y + az = 3. ¿Para qué valor de a el sistema no es compatible determinado?
Tu respuesta

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