Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro es el ejercicio estrella del bloque de álgebra de la PAU. Reúne todo lo anterior: matrices, determinantes y rango. El teorema de Rouché-Frobenius dice si hay solución y cuántas; Gauss y Cramer permiten hallarlas.
Objetivos
- Escribir un sistema en forma matricial A · X = B
- Clasificar un sistema (SCD, SCI, SI) con el teorema de Rouché-Frobenius
- Resolver por el método de Gauss y por la regla de Cramer
- Discutir y resolver sistemas que dependen de un parámetro
- Plantear y resolver problemas con sistemas
1. Expresión matricial y clasificación
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se escribe A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la columna de incógnitas y B la columna de términos independientes. La matriz ampliada A* = (A | B) añade la columna B.
| Tipo | Abreviatura | Soluciones |
|---|---|---|
| Compatible determinado | SCD | una única solución |
| Compatible indeterminado | SCI | infinitas soluciones |
| Incompatible | SI | ninguna solución |
2. Teorema de Rouché-Frobenius
El sistema es compatible ⟺ rg(A) = rg(A*)
- rg(A) = rg(A*) = n (número de incógnitas): SCD.
- rg(A) = rg(A*) < n: SCI, con n − rg(A) parámetros libres.
- rg(A) ≠ rg(A*): SI.
3. Métodos de resolución
Método de Gauss: se escalona la matriz ampliada con operaciones por filas y se resuelve de abajo arriba. Sirve para cualquier sistema.
Regla de Cramer: si A es cuadrada y |A| ≠ 0, cada incógnita es un cociente de determinantes. Ax es la matriz A con la columna de x sustituida por B.
x = , y = , z =
Resolver x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 por Cramer
- |A| = |1 1 1; 2 −1 1; 1 2 −1| = −1 + 3 + 5 = 7 ≠ 0: SCD
- |Ax| = |6 1 1; 3 −1 1; 2 2 −1| = 7, luego x = 1
- Del mismo modo |Ay| = 14 y |Az| = 21: y = 2, z = 3
- Comprobación en la tercera ecuación: 1 + 4 − 3 = 2
(x, y, z) = (1, 2, 3)
4. Discusión con un parámetro
Discutir ax + y + z = 1, x + ay + z = a, x + y + az = a² según a
- |A| = |a 1 1; 1 a 1; 1 1 a| = (a − 1)²(a + 2)
- Si a ≠ 1 y a ≠ −2: rg(A) = rg(A*) = 3 = n: SCD
- Si a = 1: las tres ecuaciones son x + y + z = 1: rg(A) = rg(A*) = 1 < 3: SCI (2 parámetros)
- Si a = −2: rg(A) = 2; sumando las tres ecuaciones se obtiene 0 = 1 − 2 + 4 = 3, absurdo: rg(A*) = 3: SI
SCD si a ∉ {1, −2}; SCI si a = 1; SI si a = −2
Recuerda
- Rouché-Frobenius: compatible ⟺ rg(A) = rg(A*).
- SCD si el rango común es igual al número de incógnitas; SCI si es menor.
- Un sistema homogéneo siempre es compatible.
- Cramer: x = |Ax|/|A|, solo si |A| ≠ 0.
- Con parámetro: anular |A| y estudiar cada valor crítico aparte.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.