Ejercicio 1 de 10
RelacionarAsocia cada situación (n = número de incógnitas) con la clasificación del sistema.
Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Ejercicios: Sistemas de ecuaciones lineales: Rouché-Frobenius, Gauss y Cramer
24 ejercicios con corrección detallada, en 3 series. Sin registro: tu progreso se queda en tu dispositivo.
ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Sistemas de ecuaciones lineales: Rouché-Frobenius, Gauss y Cramer — Practicar
Hoja de ejercicios
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Antes de resolver, clasifica: ¿cuántas soluciones tiene el sistema?
Ejercicio 1 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Asocia cada situación (n = número de incógnitas) con la clasificación del sistema.
- 1. rg(A) = rg(A*) = n
- 2. rg(A) = rg(A*) < n
- 3. rg(A) ≠ rg(A*)
- 4. Homogéneo con A cuadrada y |A| ≠ 0
- A. Compatible indeterminado
- B. Incompatible
- C. Solo la solución trivial
- D. Compatible determinado
Ejercicio 2 — Marca la respuesta correcta.
Un sistema con 3 incógnitas tiene rg(A) = 2 y rg(A*) = 3. El sistema es:
- Compatible determinado
- Compatible indeterminado
- Incompatible
- Homogéneo
Ejercicio 3
Resuelve el sistema x + y + z = 4, x − y + z = 6, 2x + y − z = 0. Da el valor de z.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 4 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Un sistema homogéneo siempre es compatible.
VerdaderoFalso
Ejercicio 5
En un sistema resuelto por Cramer, |A| = −4 y |Ax| = 10. ¿Cuánto vale x?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 6 — Completa los huecos.
Completa el enunciado del teorema de Rouché-Frobenius.
Un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de es igual al rango de la matriz .
Ejercicio 7
¿Para qué valor de k el sistema x + 2y = 3, 2x + 4y = k es compatible?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Un sistema compatible con 3 incógnitas tiene rg(A) = rg(A*) = 2. ¿De cuántos parámetros dependen sus soluciones?
- 0
- 1
- 2
- 3
Ejercicio 9
¿Para qué valor de a el sistema homogéneo x + y = 0, 2x + ay = 0 tiene soluciones distintas de la trivial?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya matriz de coeficientes tiene determinante no nulo es compatible determinado.
VerdaderoFalso
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ULUMINE · Matemáticas · 2.º de Bachillerato
Sistemas de ecuaciones lineales: Rouché-Frobenius, Gauss y Cramer — Practicar
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 1 → D · 2 → A · 3 → B · 4 → C
Es el teorema de Rouché-Frobenius. Un homogéneo con |A| ≠ 0 es SCD y su única solución es la nula.
Ejercicio 2
Respuesta: Incompatible
Los rangos de A y de A* son distintos: por Rouché-Frobenius, el sistema no tiene solución.
Ejercicio 3
Respuesta: 3
Se combinan ecuaciones para eliminar incógnitas.
- Primera menos segunda: 2y = −2, luego y = −1
- Primera: x + z = 5; tercera: 2x − z = 1
- Sumando: 3x = 6, x = 2, y z = 3
- Comprobación: 2 · 2 − 1 − 3 = 0
Ejercicio 4
Respuesta: Vrai
Verdadero: x = y = z = 0 siempre es solución. Además, al añadir una columna de ceros el rango no cambia, así que rg(A) = rg(A*).
Ejercicio 5
Respuesta: -2,5
x = |Ax| / |A| = 10 / (−4) = −2,5.
Ejercicio 6
Respuesta: coeficientes · ampliada
Si al añadir la columna de términos independientes el rango aumenta, aparece una ecuación imposible.
Ejercicio 7
Respuesta: 6
La segunda ecuación tiene los coeficientes dobles de la primera; para que no sea contradictoria, el término independiente también debe ser el doble.
- rg(A) = 1
- rg(A*) = 1 solo si k = 2 · 3 = 6
- Para k = 6 es SCI; para k ≠ 6 es SI
Ejercicio 8
Respuesta: 1
Número de parámetros = n − rg(A) = 3 − 2 = 1.
Ejercicio 9
Respuesta: 2
Un homogéneo con matriz cuadrada tiene soluciones no triviales si |A| = 0.
- |A| = a − 2
- a − 2 = 0 ⟺ a = 2
Ejercicio 10
Respuesta: Vrai
Si |A| ≠ 0, rg(A) = 3; como A* tiene 3 filas, rg(A*) = 3 también: SCD.
Antes de resolver, clasifica: ¿cuántas soluciones tiene el sistema?
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
Tipo testUn sistema con 3 incógnitas tiene rg(A) = 2 y rg(A*) = 3. El sistema es:
Ejercicio 3 de 10
CálculoResuelve el sistema x + y + z = 4, x − y + z = 6, 2x + y − z = 0. Da el valor de z.
Ejercicio 4 de 10
Verdadero o falsoUn sistema homogéneo siempre es compatible.
Ejercicio 5 de 10
CálculoEn un sistema resuelto por Cramer, |A| = −4 y |Ax| = 10. ¿Cuánto vale x?
Ejercicio 6 de 10
Completar huecosCompleta el enunciado del teorema de Rouché-Frobenius.
Ejercicio 7 de 10
Cálculo¿Para qué valor de k el sistema x + 2y = 3, 2x + 4y = k es compatible?
Ejercicio 8 de 10
Tipo testUn sistema compatible con 3 incógnitas tiene rg(A) = rg(A*) = 2. ¿De cuántos parámetros dependen sus soluciones?
Ejercicio 9 de 10
Cálculo¿Para qué valor de a el sistema homogéneo x + y = 0, 2x + ay = 0 tiene soluciones distintas de la trivial?
Ejercicio 10 de 10
Verdadero o falsoUn sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya matriz de coeficientes tiene determinante no nulo es compatible determinado.