Matemáticas · 2.º de Bachillerato

Resumen: Sistemas de ecuaciones lineales: Rouché-Frobenius, Gauss y Cramer

Discute sistemas lineales con el teorema de Rouché-Frobenius y resuélvelos por Gauss o Cramer, también con parámetros. Matemáticas II para preparar la PAU.

Rouché-Frobenius clasifica el sistema; Gauss y Cramer lo resuelven; con parámetro, se estudian aparte los valores que anulan |A|.

Clasificación

  • rg(A) = rg(A*) = n: SCD.
  • rg(A) = rg(A*) < n: SCI (n − rg parámetros).
  • rg(A) ≠ rg(A*): SI.

Resolución

  • Gauss: escalonar la ampliada y resolver de abajo arriba.
  • Cramer (|A| ≠ 0): x = |Ax|/|A|.

Discusión

  • Calcular |A| y sus raíces.
  • Valores que no anulan |A|: SCD.
  • Cada raíz: sustituir y calcular rg(A) y rg(A*).

Errores frecuentes

  • Aplicar Cramer cuando |A| = 0.
  • Concluir SI sin comprobar el rango de la ampliada.
  • Olvidar que un homogéneo siempre tiene la solución trivial.