Con números, para despejar x en 3x = 6 se divide entre 3. Con matrices no se divide: se multiplica por la matriz inversa. Esta lección explica cuándo existe la inversa, cómo calcularla y cómo usarla para resolver ecuaciones matriciales, un ejercicio casi fijo en la PAU.
Objetivos
- Saber cuándo una matriz cuadrada es invertible
- Calcular la inversa por adjuntos y por el método de Gauss-Jordan
- Usar las propiedades de la inversa
- Despejar la incógnita X en una ecuación matricial respetando el orden de los productos
1. Definición y existencia
Matriz inversa: La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A⁻¹ tal que A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I. Si existe, es única, y A se llama regular o invertible.
A tiene inversa ⟺ |A| ≠ 0
2. Cálculo de la inversa por adjuntos
A⁻¹ = · (Adj A)t
(a b; c d)⁻¹ = · (d −b; −c a)
Inversa de A = (1 0 1; 0 1 0; 1 0 2)
- |A| = 1 · (2 − 0) − 0 + 1 · (0 − 1) = 1 ≠ 0: existe inversa
- Adjuntos: A11 = 2, A12 = 0, A13 = −1, A21 = 0, A22 = 1, A23 = 0, A31 = −1, A32 = 0, A33 = 1
- Adj A = (2 0 −1; 0 1 0; −1 0 1), que es simétrica, así que (Adj A)t es la misma
- A⁻¹ = · (2 0 −1; 0 1 0; −1 0 1)
A⁻¹ = (2 0 −1; 0 1 0; −1 0 1). Comprueba siempre que A · A⁻¹ = I.
3. Método de Gauss-Jordan
Se escribe la matriz ampliada (A | I) y, con operaciones elementales por filas, se transforma A en I. Lo que queda a la derecha es A⁻¹: (A | I) → (I | A⁻¹).
Inversa de A = (1 2; 0 1)
- (1 2 | 1 0; 0 1 | 0 1)
- F1 − 2F2: (1 0 | 1 −2; 0 1 | 0 1)
A⁻¹ = (1 −2; 0 1)
4. Propiedades
- (A⁻¹)⁻¹ = A
- (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹ (se invierte el orden)
- (At)⁻¹ = (A⁻¹)t
- |A⁻¹| =
5. Ecuaciones matriciales
Se despeja X como en una ecuación, pero multiplicando por A⁻¹ por el mismo lado en ambos miembros, porque el producto no es conmutativo.
| Ecuación | Se multiplica por A⁻¹… | Solución |
|---|---|---|
| A · X = B | por la izquierda | X = A⁻¹ · B |
| X · A = B | por la derecha | X = B · A⁻¹ |
| A · X + C = B | tras pasar C restando | X = A⁻¹ · (B − C) |
| A · X = X + B | tras sacar factor común | (A − I) · X = B ⟹ X = (A − I)⁻¹ · B |
Resolver A · X = B con A = (2 1; 5 3) y B = (1; 2)
- |A| = 6 − 5 = 1
- A⁻¹ = (3 −1; −5 2)
- X = A⁻¹ · B = (3 · 1 − 1 · 2; −5 · 1 + 2 · 2) = (1; −1)
X = (1; −1)
Recuerda
- A es invertible si y solo si |A| ≠ 0.
- A⁻¹ = · (Adj A)t; en orden 2, intercambiar la diagonal y cambiar signos.
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ y |A⁻¹| = .
- A · X = B ⟹ X = A⁻¹B; X · A = B ⟹ X = BA⁻¹.
- Sacar factor común con la identidad: AX − X = (A − I)X.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.