El determinante asocia a cada matriz cuadrada un número. Ese número dice si la matriz tiene inversa, si un sistema tiene solución única o si unos vectores son independientes. Saber calcularlo y, sobre todo, usar sus propiedades ahorra mucho tiempo en la PAU.
Objetivos
- Calcular determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus)
- Desarrollar un determinante por los adjuntos de una fila o columna
- Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar cálculos
- Calcular el rango de una matriz por menores, también con parámetros
1. Determinantes de orden 2 y 3
|a b; c d| = a · d − b · c
Para orden 3 se usa la regla de Sarrus: se suman los productos de la diagonal principal y de sus dos «paralelas» (triángulos), y se restan los productos de la diagonal secundaria y de sus paralelas.
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
Calcular |A| con A = (1 2 0; 3 1 2; 0 1 4)
- Términos positivos: 1 · 1 · 4 + 2 · 2 · 0 + 0 · 3 · 1 = 4
- Términos negativos: 0 · 1 · 0 + 1 · 2 · 1 + 2 · 3 · 4 = 26
- |A| = 4 − 26
|A| = −22
2. Desarrollo por adjuntos
Menor complementario y adjunto: El menor complementario αij es el determinante que queda al suprimir la fila i y la columna j. El adjunto es Aij = (−1)i+j · αij.
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
Signos de los adjuntos en orden 3: (+ − +; − + −; + − +).
3. Propiedades
| Si… | entonces el determinante… |
|---|---|
| se traspone la matriz | no cambia: |At| = |A| |
| una fila (o columna) es nula | vale 0 |
| dos filas son iguales o proporcionales | vale 0 |
| una fila es combinación lineal de las otras | vale 0 |
| se intercambian dos filas | cambia de signo |
| se multiplica una fila por k | queda multiplicado por k |
| se suma a una fila un múltiplo de otra | no cambia |
|A · B| = |A| · |B| y |k · A| = kⁿ · |A| (A de orden n)
El determinante de una matriz triangular (o diagonal) es el producto de los elementos de su diagonal.
4. Rango por menores
Rango por menores: El rango de A es el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de A.
Rango de A = (1 2 1; 2 1 a; 3 3 2) según a
- |A| = 1 · (2 − 3a) − 2 · (4 − 3a) + 1 · (6 − 3) = 3a − 3
- |A| = 0 ⟺ a = 1
- Si a ≠ 1: |A| ≠ 0, luego rg(A) = 3
- Si a = 1: el menor |1 2; 2 1| = −3 ≠ 0, luego rg(A) = 2
rg(A) = 3 si a ≠ 1; rg(A) = 2 si a = 1
Recuerda
- Orden 2: ad − bc. Orden 3: regla de Sarrus o desarrollo por adjuntos.
- Adjunto Aij = (−1)i+j · menor complementario.
- Intercambiar filas cambia el signo; sumar un múltiplo de otra fila no cambia nada.
- |AB| = |A| · |B| y |kA| = kⁿ|A|, pero |A + B| ≠ |A| + |B|.
- rg(A) = orden del mayor menor no nulo.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.