El bloque de probabilidad de la PAU suele presentar una situación con varias etapas (máquinas, pruebas médicas, urnas) que se organiza con un diagrama de árbol o una tabla de contingencia. Además, hay que saber modelizar con las distribuciones binomial y normal.
Objetivos
- Aplicar las propiedades de la probabilidad y la regla de Laplace
- Calcular probabilidades condicionadas y reconocer sucesos independientes
- Aplicar los teoremas de la probabilidad total y de Bayes
- Calcular probabilidades con la distribución binomial
- Tipificar y usar la tabla de la normal N(0, 1)
1. Probabilidad y probabilidad condicionada
- Regla de Laplace (casos equiprobables): P(A) = .
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- P(Aᶜ) = 1 − P(A); leyes de De Morgan: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∪ B).
P(A|B) = , con P(B) > 0
Sucesos independientes: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B), es decir, si P(A|B) = P(A): saber que ocurre B no cambia la probabilidad de A.
2. Probabilidad total y teorema de Bayes
Si A₁, A₂, …, Aₙ forman un sistema completo de sucesos (incompatibles y su unión es todo):
P(B) = P(A₁) · P(B|A₁) + P(A₂) · P(B|A₂) + … + P(Aₙ) · P(B|Aₙ)
P(Aᵢ|B) =
Una máquina M₁ fabrica el 60 % de las piezas (2 % defectuosas) y M₂ el 40 % (5 % defectuosas). Se elige una pieza al azar.
- P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032
- Si es defectuosa, ¿de qué máquina viene? P(M₂|D) = = 0,625
P(D) = 0,032 y P(M₂|D) = 0,625
3. Distribución binomial
X ~ B(n, p) cuenta los éxitos en n repeticiones independientes de un experimento con dos resultados, con probabilidad de éxito p constante.
P(X = k) = (n sobre k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con (n sobre k) =
Media μ = n · p; desviación típica σ = √(n · p · (1 − p))
X ~ B(5; 0,3). Calcular P(X = 2)
- (5 sobre 2) = 10
- P(X = 2) = 10 · 0,3² · 0,7³ = 10 · 0,09 · 0,343
P(X = 2) = 0,3087
4. Distribución normal
X ~ N(μ, σ) es una variable continua con forma de campana, simétrica respecto de μ. Para usar la tabla de la N(0, 1) se tipifica:
Z = ~ N(0, 1)
| z | 0,5 | 1 | 1,5 | 1,96 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(Z ≤ z) | 0,6915 | 0,8413 | 0,9332 | 0,9750 | 0,9772 |
- P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a)
- P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a) (simetría)
- P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
Estaturas X ~ N(170, 10). Calcular P(X ≤ 180)
- Z = (180 − 170)/10 = 1
- P(Z ≤ 1) = 0,8413
P(X ≤ 180) = 0,8413
Recuerda
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
- Independientes ⟺ P(A ∩ B) = P(A) · P(B); no es lo mismo que incompatibles.
- Probabilidad total: suma de los caminos del árbol; Bayes: un camino entre el total.
- Binomial: P(X = k) = (n sobre k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, μ = np.
- Normal: tipificar Z = (X − μ)/σ y usar la tabla.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.