Cajas, latas, balones, tiendas de campaña… Los objetos que nos rodean tienen forma de cuerpos geométricos. Aprenderás a clasificarlos y a calcular su área (la superficie que los recubre) y su volumen (el espacio que ocupan).
Objetivos
- Clasificar los cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos de revolución
- Comprobar la fórmula de Euler en poliedros
- Calcular áreas de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas a partir de su desarrollo plano
- Calcular volúmenes y relacionar unidades de volumen y de capacidad
1. Poliedros
Poliedro: Cuerpo limitado por caras planas que son polígonos. Los lados de las caras son las aristas y los puntos donde se juntan, los vértices.
C + V = A + 2
Comprobar la fórmula de Euler en un cubo
- C = 6, V = 8, A = 12
- 6 + 8 = 14 = 12 + 2 ✓
Hay solo cinco poliedros regulares (caras polígonos regulares iguales y el mismo número de caras en cada vértice): tetraedro, cubo (hexaedro), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
2. Prismas y pirámides
| Cuerpo | Área total | Volumen |
|---|---|---|
| Prisma | Alateral + 2 × Abase | Abase × h |
| Ortoedro a × b × c | 2(ab + ac + bc) | a × b × c |
| Cubo de arista a | 6a² | a³ |
| Pirámide | Alateral + Abase |
Pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y altura 4 cm
- Apotema de la pirámide (altura de cada cara): √(4² + 3²) = 5 cm
- Alateral = 4 × = 60 cm²
- Atotal = 60 + 36 = 96 cm²
- V = = 48 cm³
3. Cuerpos de revolución
Se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje: el cilindro (un rectángulo), el cono (un triángulo rectángulo) y la esfera (un semicírculo).
| Cuerpo | Área | Volumen |
|---|---|---|
| Cilindro (radio r, altura h) | 2πrh + 2πr² | πr²h |
| Cono (radio r, altura h, generatriz g) | πrg + πr² | |
| Esfera (radio r) | 4πr² | πr³ |
Cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm
- Alateral = 2π × 3 × 10 = 60π ≈ 188,50 cm²
- V = π × 3² × 10 = 90π ≈ 282,74 cm³
4. Volumen y capacidad
| Volumen | Capacidad |
|---|---|
| 1 m³ | 1000 L (1 kL) |
| 1 dm³ | 1 L |
| 1 cm³ | 1 mL |
Recuerda
- Euler: C + V = A + 2.
- Prisma y cilindro: V = Abase × h.
- Pirámide y cono: V = .
- Esfera: A = 4πr², V = πr³.
- 1 dm³ = 1 L.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.