Saber si un número «cabe» un número exacto de veces en otro es muy útil: para repartir sin que sobre nada, para saber cuándo coinciden dos sucesos que se repiten o para simplificar fracciones. Es la divisibilidad.
Objetivos
- Reconocer múltiplos y divisores de un número
- Aplicar los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5, 9 y 10
- Distinguir números primos y compuestos y descomponer en factores primos
- Calcular el m.c.m. y el m.c.d. de dos números y usarlos en problemas
1. Múltiplos y divisores
Múltiplo: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 0, 1, 2, 3… Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30… Un número tiene infinitos múltiplos.
Divisor: Un número es divisor de otro si la división entre ellos es exacta (resto 0). Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Un número tiene una cantidad limitada de divisores.
2. Criterios de divisibilidad
| Un número es divisible entre… | si… | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | termina en 0, 2, 4, 6 u 8 | 348 |
| 3 | la suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 531 (5 + 3 + 1 = 9) |
| 5 | termina en 0 o en 5 | 715 |
| 9 | la suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 684 (6 + 8 + 4 = 18) |
| 10 | termina en 0 | 2470 |
3. Números primos y compuestos
Número primo: Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Los primos menores que 30 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.
Un número con más de dos divisores es compuesto (por ejemplo, 15 = 3 × 5). El 1 no es ni primo ni compuesto.
Descomponer 60 en factores primos
- 60 ÷ 2 = 30
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
4. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
m.c.m.: El mínimo común múltiplo de dos números es el menor de sus múltiplos comunes distinto de 0.
m.c.m. (4, 6)
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24…
- El menor común es 12.
m.c.m. (4, 6) = 12
m.c.d.: El máximo común divisor de dos números es el mayor de sus divisores comunes.
m.c.d. (12, 18)
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- El mayor común es 6.
m.c.d. (12, 18) = 6
Recuerda
- Si a ÷ b es exacta, b es divisor de a y a es múltiplo de b.
- Criterios: 2 (cifra par), 3 y 9 (suma de cifras), 5 (0 o 5), 10 (0).
- Un primo solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. El 2 es el único primo par.
- m.c.m.: el menor múltiplo común; m.c.d.: el mayor divisor común.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.