El campo gravitatorio es conservativo: el trabajo que realiza solo depende de los puntos inicial y final. Por eso podemos asociarle una energía potencial y un potencial, y resolver con balances de energía los problemas de lanzamientos, satélites y escapes, que son un clásico de la PAU.
Objetivos
- Calcular la energía potencial gravitatoria y el potencial en un punto
- Relacionar el trabajo del campo con la variación de energía potencial
- Calcular velocidad orbital, periodo y energía mecánica de un satélite
- Calcular la velocidad de escape y la energía necesaria para cambiar de órbita
1. Energía potencial y potencial gravitatorio
Ep = −G ·
Potencial gravitatorio (V): Energía potencial por unidad de masa en un punto: V = = −G · . Es una magnitud escalar y se mide en J/kg. Con varias masas, los potenciales se suman algebraicamente.
WA→B = −ΔEp = −m · (VB − VA)
Las superficies equipotenciales (V constante) son esferas centradas en la masa, perpendiculares a las líneas de campo. Mover una masa sobre una equipotencial no requiere trabajo.
2. Conservación de la energía mecánica
½ · m · vA² − G · = ½ · m · vB² − G ·
Se suelta un objeto desde una altura h = RT. ¿Con qué velocidad llega al suelo? (G · MT = 3,98 · 1014 N·m²/kg ; RT = 6,37 · 106 m)
- Inicio: v = 0, r = 2RT ; final: r = RT
- ½ · v² = G · M · ( − ) =
- v = √() = √(6,25 · 107) ≈ 7,9 · 103 m/s
Velocidad de escape: Velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula: Em = 0 ⟹ ve = √(). Para la Tierra, ve ≈ 11,2 km/s. No depende de la masa del cuerpo lanzado.
3. Satélites en órbita circular
vorb = √() ; T =
| Energía | Expresión | Signo |
|---|---|---|
| Cinética | Ec = G · | Positiva |
| Potencial | Ep = −G · | Negativa |
| Mecánica | Em = −G · | Negativa (órbita ligada) |
Satélite a 630 km de altura (r = 7,0 · 106 m)
- v = √() ≈ 7,54 · 103 m/s
- T = ≈ 5,83 · 103 s ≈ 97 min
4. Lanzamientos, cambios de órbita y satélite geoestacionario
Elanzamiento = Em, órbita − Ep, superficie = −G · + G ·
ΔE = · ( − )
Satélite geoestacionario: Orbita en el plano del ecuador, en el mismo sentido que la Tierra, con un periodo de un día: siempre está sobre el mismo punto. Su radio orbital es r ≈ 4,22 · 107 m (unos 35 900 km de altura).
Recuerda
- Ep = −G · M · m/r y V = −G · M/r, nulos en el infinito.
- El trabajo del campo es W = −ΔEp; si solo actúa la gravedad, Em se conserva.
- Órbita circular: v = √(G · M/r), Em = −G · M · m/(2r).
- Velocidad de escape: ve = √(2 · G · M/R), unos 11,2 km/s en la Tierra.
- Geoestacionario: T = 24 h, órbita ecuatorial, r ≈ 4,22 · 107 m.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.