Cuando un mismo número se multiplica muchas veces por sí mismo, escribirlo todo es largo. Las potencias lo abrevian, y la raíz cuadrada hace el camino inverso del cuadrado.
Objetivos
- Escribir y calcular potencias de exponente natural
- Usar las potencias de base 10 para expresar números
- Aplicar las propiedades del producto, el cociente y la potencia de una potencia
- Calcular raíces cuadradas exactas y enteras
1. Qué es una potencia
Potencia: Es un producto de factores iguales. En aⁿ, a es la base (el factor que se repite) y n es el exponente (cuántas veces se repite).
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
- Exponente 2: se lee «al cuadrado». 7² = 49.
- Exponente 3: se lee «al cubo». 4³ = 64.
- Por convenio, a¹ = a.
2. Potencias de base 10
10ⁿ es un 1 seguido de n ceros: 10² = 100, 10³ = 1000, 10⁶ = 1 000 000.
Descomposición polinómica de 5207
- 5207 = 5 millares + 2 centenas + 0 decenas + 7 unidades
5207 = 5 × 10³ + 2 × 10² + 7
3. Propiedades de las potencias
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | Se suman los exponentes | 5³ × 5⁴ = 5⁷ |
| Cociente de igual base | Se restan los exponentes | 7⁸ : 7⁵ = 7³ |
| Potencia de una potencia | Se multiplican los exponentes | (2³)² = 2⁶ |
4. La raíz cuadrada
Raíz cuadrada: √a es el número que, elevado al cuadrado, da a. √81 = 9 porque 9² = 81.
Los números como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… son cuadrados perfectos: su raíz es exacta.
Raíz cuadrada entera de 50
- 7² = 49 ≤ 50 y 8² = 64 > 50
- La raíz entera es 7 y el resto es 50 − 49 = 1
√50 ≈ 7 (raíz entera 7, resto 1)
Recuerda
- aⁿ = a × a × … × a (n veces).
- 10ⁿ = 1 seguido de n ceros.
- Igual base: producto → sumar exponentes; cociente → restar; potencia de potencia → multiplicar.
- √a = b ⟺ b² = a.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.