Si 3 kg de manzanas cuestan 5,40 €, ¿cuánto cuestan 5 kg? ¿Cuánto pagarás con un 15 % de descuento? El razonamiento proporcional responde a estas preguntas de la vida diaria.
Objetivos
- Reconocer razones, proporciones y calcular un término desconocido
- Distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales
- Resolver problemas con la regla de tres o la reducción a la unidad
- Calcular porcentajes, aumentos y descuentos
1. Razón y proporción
Razón: Es el cociente entre dos cantidades, . Si en una clase hay 12 chicas y 15 chicos, la razón chicas/chicos es = .
Proporción: Es una igualdad entre dos razones, = . En toda proporción, a × d = b × c.
Calcular x en =
- Productos cruzados: 4 × x = 6 × 10
- 4x = 60
- x = 60 : 4 = 15
x = 15
2. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. El cociente entre ellas es constante: la constante de proporcionalidad.
| Kilos de manzanas | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| Precio (€) | 1,80 | 5,40 | 9 |
Reducción a la unidad
Si 3 kg cuestan 5,40 €, ¿cuánto cuestan 5 kg?
- 1 kg cuesta 5,40 : 3 = 1,80 €
- 5 kg cuestan 5 × 1,80 = 9 €
9 €
3. Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese número. Su producto es constante.
Si 4 obreros tardan 6 días, ¿cuánto tardan 8 obreros?
- Más obreros → menos días: proporcionalidad inversa.
- Trabajo total: 4 × 6 = 24 «días de obrero»
- 24 : 8 = 3 días
3 días
4. Porcentajes
Porcentaje: El a % de una cantidad es de esa cantidad. 25 % = = = 0,25.
| Cálculo | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| a % de C | C × a : 100 | 20 % de 150 = 150 × 20 : 100 = 30 |
| Descuento del a % | Se paga el (100 − a) % | 40 € con 15 % de descuento: 40 × 0,85 = 34 € |
| Aumento del a % | Se paga el (100 + a) % | 50 € más un 21 % de IVA: 50 × 1,21 = 60,50 € |
| Qué % es a de C | a : C × 100 | 10 de 25 → 10 : 25 × 100 = 40 % |
Recuerda
- En una proporción = , los productos cruzados son iguales.
- Directa: el cociente es constante. Inversa: el producto es constante.
- a % de C = C × a : 100.
- Descuento del a %: multiplicar por (100 − a) : 100; aumento: por (100 + a) : 100.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.