El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo. Gracias a él puedes calcular longitudes que no se pueden medir directamente: la diagonal de una pantalla, la altura de un triángulo o la distancia entre dos puntos.
Objetivos
- Identificar la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo
- Calcular la hipotenusa o un cateto con el teorema de Pitágoras
- Decidir si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo conociendo sus lados
- Aplicar el teorema a diagonales, alturas y problemas reales
1. El enunciado
Triángulo rectángulo: Triángulo con un ángulo recto (90°). El lado opuesto al ángulo recto, el mayor, es la hipotenusa; los otros dos lados son los catetos.
a² = b² + c²
Geométricamente: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
2. Calcular un lado
Hipotenusa de un triángulo de catetos 6 cm y 8 cm
- a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- a = √100 = 10 cm
Cateto de un triángulo de hipotenusa 13 cm y otro cateto de 5 cm
- 13² = 5² + c² → 169 = 25 + c²
- c² = 169 − 25 = 144
- c = √144 = 12 cm
3. ¿Es rectángulo el triángulo?
Si a es el lado mayor de un triángulo de lados a, b y c, se compara a² con b² + c²:
| Comparación | Tipo de triángulo | Ejemplo |
|---|---|---|
| a² = b² + c² | rectángulo | 5, 12, 13: 169 = 25 + 144 |
| a² < b² + c² | acutángulo | 5, 6, 7: 49 < 61 |
| a² > b² + c² | obtusángulo | 3, 4, 6: 36 > 25 |
4. Aplicaciones
Diagonal de un rectángulo de 9 cm × 12 cm
- La diagonal es la hipotenusa de un triángulo de catetos 9 y 12.
- d² = 81 + 144 = 225
- d = 15 cm
Altura de un triángulo isósceles de base 10 cm y lados iguales de 13 cm
- La altura divide la base en dos mitades de 5 cm.
- h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- h = 12 cm
Una escalera de 5 m apoyada en una pared, con el pie a 3 m
- La escalera es la hipotenusa.
- h² = 5² − 3² = 16
- h = 4 m: la escalera llega a 4 m de altura.
Recuerda
- Solo vale para triángulos rectángulos.
- Hipotenusa: a² = b² + c². Cateto: c² = a² − b².
- Comparando a² con b² + c² se sabe si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
- Sirve para diagonales, alturas y distancias.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.