Ejercicio 1 de 10
CálculoRecuerda: en un polinomio, el límite en un punto se calcula sustituyendo.
Calcula limx→3 (x² + 2x).
Repasar · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1.º Bach.
Sentido de la medida (límites, continuidad y derivadas)
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 1.º de Bachillerato
Repasar: Sentido de la medida (límites, continuidad y derivadas)
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1
Recuerda: en un polinomio, el límite en un punto se calcula sustituyendo.
Calcula limx→3 (x² + 2x).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Recuerda: si al sustituir sale , factoriza y simplifica.
Calcula limx→5 .Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: en el infinito, si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es 0.
Calcula limx→+∞ .- 0
- 2
- +∞
- 3
Ejercicio 4
Recuerda: si los grados son iguales, el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.
Calcula limx→+∞ .Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: en una función racional, hay asíntota vertical en los ceros del denominador que no anulan el numerador.
¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = ?- x = −1
- x = 4
- y = 1
- x = −4
Ejercicio 6
Recuerda: una función a trozos es continua en el punto de unión si los dos límites laterales coinciden con el valor de la función.
Halla a para que f(x) = ax − 1 si x < 2, f(x) = x + 3 si x ≥ 2 sea continua en x = 2.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7
Recuerda: TVM [a, b] = .
Calcula la tasa de variación media de f(x) = x² en el intervalo [1, 4].Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ y la derivada de una constante es 0.
¿Cuál es la derivada de f(x) = 4x³ − 5x + 2?- 12x² − 5
- 12x² − 5x
- 4x² − 5
- 12x³ − 5 + 2
Ejercicio 9
Recuerda: en un extremo relativo f'(a) = 0 y f' cambia de signo (de − a +: mínimo).
¿Para qué valor de x tiene un mínimo la función f(x) = x² − 6x + 1?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10
Recuerda: para optimizar, deriva la función, iguala a cero y comprueba el tipo de extremo.
El beneficio de un negocio al vender x unidades es B(x) = −x² + 50x − 300 euros. ¿Cuál es el beneficio máximo?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… €
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ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 1.º de Bachillerato
Repasar: Sentido de la medida (límites, continuidad y derivadas)
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 15
Los polinomios son continuos: basta sustituir x por 3.
- 3² + 2 · 3 = 9 + 6
- = 15
Ejercicio 2
Respuesta: 10
x² − 25 es una diferencia de cuadrados: se factoriza y se simplifica el factor x − 5.
- x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
- = x + 5 si x ≠ 5
- limx→5 (x + 5) = 10
Ejercicio 3
Respuesta: 0
El denominador crece mucho más deprisa que el numerador.
- Grado del numerador: 1 ; grado del denominador: 2
- 1 < 2 ⟹ el límite es 0
Ejercicio 4
Respuesta: 2
Numerador y denominador son de grado 2: se dividen los coeficientes de x².
- Coeficientes principales: 6 y 3
- Límite = = 2
Ejercicio 5
Respuesta: x = 4
El denominador se anula en x = 4 y el numerador vale allí 5 ≠ 0, así que el límite es infinito.
- x − 4 = 0 ⟹ x = 4
- Numerador en x = 4: 5 ≠ 0
- Asíntota vertical: x = 4 (y = 1 es la horizontal)
Ejercicio 6
Respuesta: 3
Se igualan el límite por la izquierda y el valor f(2), que coincide con el límite por la derecha.
- Por la izquierda: 2a − 1
- Por la derecha y f(2): 2 + 3 = 5
- 2a − 1 = 5 ⟹ a = 3
Ejercicio 7
Respuesta: 5
Es la variación de f dividida entre la variación de x: la pendiente de la recta secante.
- f(4) = 16 ; f(1) = 1
- TVM = = = 5
Ejercicio 8
Respuesta: 12x² − 5
Se deriva término a término.
- (4x³)' = 4 · 3x² = 12x²
- (−5x)' = −5
- (2)' = 0
- f'(x) = 12x² − 5
Ejercicio 9
Respuesta: 3
Se deriva, se iguala a cero y se comprueba el cambio de signo de la derivada.
- f'(x) = 2x − 6 = 0 ⟹ x = 3
- f' < 0 si x < 3 y f' > 0 si x > 3
- Mínimo en x = 3 (f(3) = −8)
Ejercicio 10
Respuesta: 325 €
Se busca el punto donde B' se anula y pasa de positiva a negativa, y se calcula B en ese punto.
- B'(x) = −2x + 50 = 0 ⟹ x = 25
- B' > 0 antes de 25 y B' < 0 después: máximo
- B(25) = −625 + 1250 − 300 = 325 €
Estos ejercicios recorren el bloque de análisis desde el principio: calcular límites, encontrar asíntotas, estudiar la continuidad, derivar y usar la derivada para buscar extremos. Cada enunciado te recuerda la regla que necesitas. Ve paso a paso y lee las correcciones con atención; puedes volver a intentarlo siempre que quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: si al sustituir sale , factoriza y simplifica.
Calcula limx→5 .Ejercicio 3 de 10
Tipo testRecuerda: en el infinito, si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es 0.
Calcula limx→+∞ .Ejercicio 4 de 10
CálculoRecuerda: si los grados son iguales, el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.
Calcula limx→+∞ .Ejercicio 5 de 10
Tipo testRecuerda: en una función racional, hay asíntota vertical en los ceros del denominador que no anulan el numerador.
¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = ?Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda: una función a trozos es continua en el punto de unión si los dos límites laterales coinciden con el valor de la función.
Halla a para que f(x) = ax − 1 si x < 2, f(x) = x + 3 si x ≥ 2 sea continua en x = 2.Ejercicio 7 de 10
CálculoRecuerda: TVM [a, b] = .
Calcula la tasa de variación media de f(x) = x² en el intervalo [1, 4].Ejercicio 8 de 10
Tipo testRecuerda: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ y la derivada de una constante es 0.
¿Cuál es la derivada de f(x) = 4x³ − 5x + 2?Ejercicio 9 de 10
CálculoRecuerda: en un extremo relativo f'(a) = 0 y f' cambia de signo (de − a +: mínimo).
¿Para qué valor de x tiene un mínimo la función f(x) = x² − 6x + 1?Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: para optimizar, deriva la función, iguala a cero y comprueba el tipo de extremo.
El beneficio de un negocio al vender x unidades es B(x) = −x² + 50x − 300 euros. ¿Cuál es el beneficio máximo?