¿A qué valor se acerca el coste medio de producción cuando se fabrican muchísimas unidades? ¿Da saltos una tarifa por tramos? El límite describe hacia dónde tiende una función, y la continuidad indica si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz.
Objetivos
- Calcular límites en un punto, incluidos los laterales
- Calcular límites en el infinito de funciones polinómicas y racionales
- Resolver las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞
- Hallar asíntotas verticales y horizontales
- Estudiar la continuidad y clasificar discontinuidades, también en funciones a trozos
1. Límite de una función en un punto
Límite: limx→a f(x) = L significa que f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a. Existe si los límites laterales (por la izquierda, x → a⁻, y por la derecha, x → a⁺) existen y son iguales.
En polinomios y en muchas funciones basta sustituir: limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10. Si al sustituir sale con k ≠ 0, el límite es infinito (estudia el signo a cada lado).
Indeterminación : limx→3
- Sustituyendo sale : factorizamos
- = x + 3 (si x ≠ 3)
- limx→3 (x + 3) = 6
2. Límites en el infinito
Un polinomio tiende a ±∞ según el signo de su término de mayor grado. Para un cociente de polinomios () se comparan los grados:
| Grados | limx→±∞ |
|---|---|
| grado P < grado Q | 0 |
| grado P = grado Q | cociente de los coeficientes principales |
| grado P > grado Q | ±∞ (según los signos) |
limx→+∞ y limx→+∞
- Primero: mismo grado ⟹ = 3
- Segundo: numerador de menor grado ⟹ 0
3. Asíntotas
- Vertical x = a: si limx→a f(x) = ±∞ (en racionales, ceros del denominador que no anulan el numerador).
- Horizontal y = L: si limx→±∞ f(x) = L.
- Oblicua y = mx + n: en racionales cuando el grado del numerador supera en 1 al del denominador (es el cociente de la división).
f(x) =
- 2x + 3 = 0 ⟹ x = −: asíntota vertical
- limx→±∞ f(x) = = 2: asíntota horizontal y = 2
En economía, el coste medio CMe(x) = tiene asíntota horizontal y = 5: al producir mucho, el coste por unidad se acerca al coste variable de 5 €.
4. Continuidad
Función continua en x = a: Se cumplen tres condiciones: existe f(a), existe limx→a f(x) y ambos coinciden.
| Discontinuidad | Qué ocurre |
|---|---|
| Evitable | El límite existe pero no coincide con f(a) o f(a) no existe |
| De salto finito | Los límites laterales son finitos y distintos |
| De salto infinito (asintótica) | Algún límite lateral es infinito |
¿Qué valor de a hace continua f(x) = x + a si x < 1, f(x) = 3x si x ≥ 1?
- Límite por la izquierda: 1 + a
- Límite por la derecha y f(1): 3
- Continua si 1 + a = 3 ⟹ a = 2
Recuerda
- El límite existe si los laterales coinciden.
- : factorizar y simplificar; : comparar grados.
- Asíntota vertical: límite infinito en un punto; horizontal: límite finito en el infinito.
- Continua en a: f(a) = limx→a f(x).
- A trozos: igualar los límites laterales en los puntos de unión.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.