La derivada mide la rapidez con la que cambia una magnitud: el ritmo al que crecen las ventas, el coste de fabricar una unidad más (coste marginal) o el momento en que el beneficio deja de aumentar. Con ella estudiarás dónde crece una función y dónde alcanza su máximo o su mínimo.
Objetivos
- Calcular e interpretar la tasa de variación media
- Entender la derivada en un punto como pendiente de la tangente
- Derivar funciones con las reglas básicas y la regla de la cadena
- Estudiar la monotonía y los extremos relativos de una función
- Interpretar el coste marginal y resolver problemas sencillos de optimización
1. Tasa de variación y derivada
TVM [a, b] =
f'(a) = limh→0
f(x) = 3x² en x = 1 por la definición
- f(1 + h) − f(1) = 3(1 + 2h + h²) − 3 = 6h + 3h²
- = 6 + 3h
- f'(1) = limh→0 (6 + 3h) = 6
y − f(a) = f'(a) · (x − a)
2. Reglas de derivación
| Función | Derivada |
|---|---|
| k | 0 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| ln x | |
| f · g | f' · g + f · g' |
| eu(x) ; ln u(x) ; u(x)ⁿ | u' · eu ; ; n · uⁿ⁻¹ · u' |
Derivar f(x) =
- f'(x) =
- f'(x) =
3. Monotonía y extremos
- f'(x) > 0 en un intervalo ⟹ f creciente.
- f'(x) < 0 en un intervalo ⟹ f decreciente.
- Extremo relativo en a: f'(a) = 0 y f' cambia de signo (de + a −: máximo; de − a +: mínimo).
Estudiar f(x) = x³ − 12x
- f'(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2): se anula en x = −2 y x = 2
- Signo de f': + en (−∞, −2), − en (−2, 2), + en (2, +∞)
- Máximo relativo en (−2, 16) y mínimo relativo en (2, −16)
4. Aplicaciones económicas y optimización
Coste marginal: Si C(x) es el coste de producir x unidades, C'(x) es el coste marginal: aproximadamente, lo que cuesta producir una unidad más cuando ya se producen x. Igual con el ingreso marginal I'(x) y el beneficio marginal B'(x).
Beneficio máximo: I(x) = 100x − x² y C(x) = 20x + 400
- B(x) = I(x) − C(x) = −x² + 80x − 400
- B'(x) = −2x + 80 = 0 ⟹ x = 40
- B' pasa de + a −: máximo. B(40) = 1200
- Escribe la función que hay que optimizar.
- Si tiene dos variables, usa la condición del enunciado para dejar una.
- Deriva, iguala a cero y comprueba el tipo de extremo.
- Responde a la pregunta con sus unidades.
Recuerda
- f'(a) es la pendiente de la tangente y la tasa de variación instantánea.
- Tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).
- Producto: f'g + fg'; cociente: ; cadena: multiplicar por u'.
- f' > 0: crece; f' < 0: decrece; extremo donde f' cambia de signo.
- Coste marginal = C'(x); el beneficio máximo se busca con B'(x) = 0.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.