Repasar · Matemáticas 1.º Bach.

Sentido algebraico

10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.

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Repasar: Sentido algebraico

Kit de repaso

Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10

Ejercicio 1
Recuerda: en una ecuación bicuadrada se hace el cambio t = x².
En x⁴ − 13x² + 36 = 0, el cambio da t² − 13t + 36 = 0. ¿Cuál es la mayor solución x?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Recuerda: en una ecuación con fracciones se multiplica todo por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Resuelve + = 5.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas, por eso se comprueban en la ecuación inicial.
Verdadero o falso: x = −3 es solución de √(x + 12) = x.
VerdaderoFalso
Ejercicio 4
Recuerda: si aᵐ = aⁿ, entonces m = n.
Resuelve 2^{x + 1} = 32.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5
Recuerda: log_a x + log_a y = log_a (x · y).
Resuelve log₂ x + log₂ 4 = 5.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 6 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: al dividir los dos miembros por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
Resuelve −2x + 4 > 0.
- x < 2
- x > 2
- x < −2
- x > −2
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: un producto de dos factores es negativo cuando los factores tienen signos distintos.
Resuelve (x − 1)(x + 4) < 0.
- (−4, 1)
- (−∞, −4) ∪ (1, +∞)
- (−1, 4)
- [−4, 1]
Ejercicio 8
Recuerda: un sistema escalonado se resuelve de abajo arriba.
Resuelve el sistema:
x + y + z = 6
y + z = 5
z = 3
¿Cuánto vale x?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 9 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: el logaritmo solo existe para valores estrictamente positivos.
¿Cuál es el dominio de f(x) = ln (x − 3)?
- (3, +∞)
- [3, +∞)
- (−∞, 3)
- ℝ
Ejercicio 10
Recuerda: para hallar la inversa se escribe y = f(x), se despeja x y se intercambian x e y.
Calcula f⁻¹(x) para f(x) = 3x + 6.

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Repasar: Sentido algebraico

Solucionario detallado — para familias y docentes

Ejercicio 1
Respuesta: 3
Se resuelve la ecuación en t y se deshace el cambio: x = ±√t.
1. t² − 13t + 36 = 0 ⟹ t = 4 o t = 9
2. x² = 4 ⟹ x = ±2; x² = 9 ⟹ x = ±3
3. La mayor solución es x = 3
Ejercicio 2
Respuesta: 6
El m.c.m. de 2 y 3 es 6.
1. Multiplicamos por 6: 3x + 2x = 30
2. 5x = 30
3. x = 6
Ejercicio 3
Respuesta: Faux
Es falso. Al sustituir, la raíz vale 3 y el segundo miembro vale −3: no coinciden. x = −3 aparece al elevar al cuadrado, pero es una solución falsa.
1. √(−3 + 12) = √9 = 3
2. 3 ≠ −3
3. La única solución de la ecuación es x = 4 (√16 = 4)
Ejercicio 4
Respuesta: 4
Se escribe 32 como potencia de 2.
1. 32 = 2⁵
2. x + 1 = 5
3. x = 4
Ejercicio 5
Respuesta: 8
Se agrupan los logaritmos y se aplica la definición de logaritmo.
1. log₂ (4x) = 5
2. 4x = 2⁵ = 32
3. x = 8 (y 8 > 0, así que es válida)
Ejercicio 6
Respuesta: x < 2
Se pasa el 4 al otro miembro y se divide por −2, invirtiendo la desigualdad.
1. −2x > −4
2. Dividimos por −2 y cambia el sentido: x < 2
Ejercicio 7
Respuesta: (−4, 1)
Las raíces −4 y 1 dividen la recta en tres intervalos; se estudia el signo en cada uno. Los extremos no se incluyen porque la desigualdad es estricta.
1. (−∞, −4): (−)(−) = +
2. (−4, 1): (−)(+) = −
3. (1, +∞): (+)(+) = +
4. Solución: (−4, 1)
Ejercicio 8
Respuesta: 1
Se sustituye el valor de z en la segunda ecuación y luego y y z en la primera.
1. z = 3
2. y + 3 = 5 ⟹ y = 2
3. x + 2 + 3 = 6 ⟹ x = 1
Ejercicio 9
Respuesta: (3, +∞)
Se exige que el argumento del logaritmo sea mayor que 0; x = 3 no vale porque ln 0 no existe.
1. x − 3 > 0
2. x > 3
3. Dom f = (3, +∞)
Ejercicio 10
Respuesta: (x − 6)/3
La inversa deshace las operaciones de f en orden inverso: primero restar 6 y después dividir entre 3.
1. y = 3x + 6 ⟹ 3x = y − 6 ⟹ x =
2. f⁻¹(x) = = − 2
3. Comprobación: f⁻¹(f(1)) = f⁻¹(9) = = 1 ✓

Estos ejercicios repasan las ecuaciones, inecuaciones y sistemas, y las funciones elementales. Recuerda comprobar siempre las soluciones cuando elevas al cuadrado o usas logaritmos: es el error más frecuente.

Ejercicios corregidos: 0 / 10

Ejercicio 1 de 10
Cálculo
Recuerda: en una ecuación bicuadrada se hace el cambio t = x².
En x⁴ − 13x² + 36 = 0, el cambio da t² − 13t + 36 = 0. ¿Cuál es la mayor solución x?
Tu respuesta
Ejercicio 2 de 10
Cálculo
Recuerda: en una ecuación con fracciones se multiplica todo por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Resuelve + = 5.
Tu respuesta
Ejercicio 3 de 10
Verdadero o falso
Recuerda: al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas, por eso se comprueban en la ecuación inicial.
Verdadero o falso: x = −3 es solución de √(x + 12) = x.
¿Verdadero o falso?
VerdaderoFalso
Ejercicio 4 de 10
Cálculo
Recuerda: si aᵐ = aⁿ, entonces m = n.
Resuelve 2^{x + 1} = 32.
Tu respuesta
Ejercicio 5 de 10
Cálculo
Recuerda: log_a x + log_a y = log_a (x · y).
Resuelve log₂ x + log₂ 4 = 5.
Tu respuesta
Ejercicio 6 de 10
Tipo test
Recuerda: al dividir los dos miembros por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
Resuelve −2x + 4 > 0.
Elige una respuesta
x < 2x > 2x < −2x > −2
Ejercicio 7 de 10
Tipo test
Recuerda: un producto de dos factores es negativo cuando los factores tienen signos distintos.
Resuelve (x − 1)(x + 4) < 0.
Elige una respuesta
(−4, 1)(−∞, −4) ∪ (1, +∞)(−1, 4)[−4, 1]
Ejercicio 8 de 10
Cálculo
Recuerda: un sistema escalonado se resuelve de abajo arriba.
Resuelve el sistema:
x + y + z = 6
y + z = 5
z = 3
¿Cuánto vale x?
Tu respuesta
Ejercicio 9 de 10
Tipo test
Recuerda: el logaritmo solo existe para valores estrictamente positivos.
¿Cuál es el dominio de f(x) = ln (x − 3)?
Elige una respuesta
(3, +∞)[3, +∞)(−∞, 3)ℝ
Ejercicio 10 de 10
Respuesta escrita
Recuerda: para hallar la inversa se escribe y = f(x), se despeja x y se intercambian x e y.
Calcula f⁻¹(x) para f(x) = 3x + 6.
Tu respuesta

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