Evaluación de Matemáticas

Ejercicio 1

Respuesta: 3√3

Se extraen factores de cada raíz para obtener radicales semejantes, y luego se suman o restan sus coeficientes. No se pueden restar los radicandos.

1. √75 = √(25 · 3) = 5√3
2. √12 = √(4 · 3) = 2√3
3. 5√3 − 2√3 = 3√3

Ejercicio 2

Respuesta: −1 · 5

|x − 2| < 3 significa que la distancia de x a 2 es menor que 3: x está en el entorno de centro 2 y radio 3.

1. −3 < x − 2 < 3
2. Sumamos 2: −1 < x < 5
3. x ∈ (−1, 5)

Ejercicio 3

Respuesta: 2

La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto.

1. log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36
2. 6² = 36, luego log₆ 36 = 2

Ejercicio 4

Respuesta: 5 − i

Se multiplica como si fueran polinomios y se sustituye i² por −1.

1. (3 + 2i)(1 − i) = 3 − 3i + 2i − 2i²
2. = 3 − i − 2 · (−1)
3. = 3 − i + 2 = 5 − i

Ejercicio 5

Respuesta: 150 °

Como π rad = 180°, se sustituye π por 180°.

1. 5π6 rad = 5 · 180°6
2. = 5 · 30° = 150°

Ejercicio 6

Respuesta: −1213

Se usa la relación fundamental sen² α + cos² α = 1 y el cuadrante decide el signo: en el tercer cuadrante el seno es negativo.

1. sen² α = 1 − 25169 = 144169
2. sen α = ±1213
3. Tercer cuadrante: sen α < 0, luego sen α = −1213

Ejercicio 7

Respuesta: 5,29 cm

Se conocen dos lados y el ángulo comprendido: se aplica el teorema del coseno.

1. a² = b² + c² − 2bc · cos A
2. a² = 16 + 36 − 2 · 4 · 6 · 12 = 52 − 24 = 28
3. a = √28 ≈ 5,29 cm

Ejercicio 8

Respuesta: 4

Al sustituir sale la indeterminación 00: se factoriza el numerador y se simplifica.

1. x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)
2. (x + 3)(x − 1)x − 1 = x + 3 (para x ≠ 1)
3. lim_x→1 (x + 3) = 4

Ejercicio 9

Respuesta: x = 3 e y = 2

La asíntota vertical está donde se anula el denominador (sin anularse el numerador). Como numerador y denominador tienen el mismo grado, la horizontal es el cociente de los coeficientes principales.

1. x − 3 = 0 ⟹ x = 3, y el numerador vale 7 ≠ 0: asíntota vertical x = 3
2. lim_x→±∞ 2x + 1x − 3 = 21 = 2: asíntota horizontal y = 2

Ejercicio 10

Respuesta: 1 → A · 2 → B · 3 → D · 4 → C

Las tres primeras usan la regla de la cadena (derivada de fuera por derivada de dentro); la última, la regla del producto.

1. (ln (x² + 1))' = 1x² + 1 · 2x
2. (sen (3x))' = cos (3x) · 3
3. (e^2x)' = e^2x · 2
4. (x · eˣ)' = 1 · eˣ + x · eˣ = (1 + x) eˣ

Ejercicio 11

Respuesta: y = −x − 1

La tangente en x = a es y − f(a) = f'(a)(x − a): hacen falta el punto (a, f(a)) y la pendiente f'(a).

1. f(1) = 1 − 3 = −2
2. f'(x) = 2x − 3, luego f'(1) = −1
3. y − (−2) = −1 · (x − 1) ⟹ y = −x + 1 − 2 = −x − 1

Ejercicio 12

Respuesta: 10

Las componentes de AB son las coordenadas de B menos las de A; el módulo es la raíz de la suma de los cuadrados.

1. AB = (5 − (−1), −6 − 2) = (6, −8)
2. |AB| = √(36 + 64) = √100 = 10

Ejercicio 13

Respuesta: 1

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0.

1. u · v = 2 · 3 + k · (−6) = 6 − 6k
2. 6 − 6k = 0 ⟹ k = 1

Ejercicio 14

Respuesta: x − 3y − 5 = 0

En Ax + By + C = 0 el vector director es (−B, A). Con v = (3, 1) se puede tomar A = 1 y B = −3; C se obtiene imponiendo que P esté en la recta.

1. x − 3y + C = 0
2. P = (2, −1): 2 + 3 + C = 0 ⟹ C = −5
3. x − 3y − 5 = 0 (las rectas 3x + y − 5 = 0 y 3x − y − 7 = 0 pasan por P, pero con otra dirección)

Ejercicio 15

Respuesta: 1

Se aplica d(P, r) = |Ax₀ + By₀ + C|√(A² + B²).

1. |4 · 2 − 3 · 3 + 6| = |8 − 9 + 6| = 5
2. √(4² + 3²) = √25 = 5
3. d(P, r) = 55 = 1

Ejercicio 16

Respuesta: x = ±1 y x = ±3

Es una ecuación bicuadrada: con el cambio t = x² queda una ecuación de segundo grado; después se deshace el cambio.

1. t² − 10t + 9 = 0 ⟹ t = 1 o t = 9
2. x² = 1 ⟹ x = ±1
3. x² = 9 ⟹ x = ±3

Ejercicio 17

Respuesta: 3

Se eleva al cuadrado y se comprueban las soluciones en la ecuación inicial, porque pueden aparecer soluciones falsas.

1. 2x + 3 = x² ⟹ x² − 2x − 3 = 0 ⟹ x = 3 o x = −1
2. x = 3: √9 = 3 ✓
3. x = −1: √1 = 1 ≠ −1 ✗
4. Única solución: x = 3

Ejercicio 18

Respuesta: 5

Se escriben los dos miembros como potencias de la misma base y se igualan los exponentes.

1. 81 = 3⁴
2. 3^{x − 1} = 3⁴ ⟹ x − 1 = 4
3. x = 5

Ejercicio 19

Respuesta: [−2, 3]

Se buscan las raíces, se estudia el signo en cada intervalo y se incluyen los extremos porque la desigualdad no es estricta.

1. x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2): raíces −2 y 3
2. Signo: + en (−∞, −2), − en (−2, 3), + en (3, +∞)
3. ≤ 0 en [−2, 3]

Ejercicio 20

Respuesta: 2

Se eliminan incógnitas para escalonar el sistema y se resuelve de abajo arriba.

1. E2 − 2·E1: −3y − z = −5; E3 − E1: y − 2z = −3
2. 3·(nueva E3) + (nueva E2): −7z = −14 ⟹ z = 2
3. y − 4 = −3 ⟹ y = 1; x + 1 + 2 = 4 ⟹ x = 1
4. Solución: (1, 1, 2)

Ejercicio 21

Respuesta: 2x² − 1

(g ∘ f)(x) = g(f(x)): primero se aplica f y al resultado se le aplica g.

1. g(f(x)) = g(x² + 1)
2. = 2(x² + 1) − 3
3. = 2x² + 2 − 3 = 2x² − 1

Ejercicio 22

Respuesta: Una correlación lineal negativa fuerte

El signo de r da el sentido de la relación y su valor absoluto, la intensidad: |r| = 0,92 está muy cerca de 1.

1. r < 0: cuando una variable aumenta, la otra tiende a disminuir
2. |r| = 0,92 ≈ 1: los puntos están muy próximos a una recta

Ejercicio 23

Respuesta: 13

La recta de regresión de Y sobre X es y − ȳ = σₓᵧσₓ²(x − x̄).

1. Pendiente: 62 = 3
2. y − 10 = 3(x − 4)
3. Para x = 5: y = 10 + 3 · 1 = 13

Ejercicio 24

Respuesta: 35

No importa el orden y no se repiten libros: son combinaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3.

1. C_7,3 = 7!3! · 4!
2. = 7 · 6 · 53 · 2 · 1 = 2106 = 35

Ejercicio 25

Respuesta: 0,065

Probabilidad total: se multiplican las probabilidades a lo largo de cada camino del árbol y se suman los caminos que llevan a «llega tarde».

1. Autobús y tarde: 0,3 · 0,1 = 0,03
2. Otro medio y tarde: 0,7 · 0,05 = 0,035
3. P(tarde) = 0,03 + 0,035 = 0,065