Ejercicio 1 de 10
Respuesta escritaRecuerda: AB = (b₁ − a₁, b₂ − a₂), extremo menos origen.
Con A = (2, 1) y B = (5, 7), escribe las componentes de AB.
Repasar · Matemáticas 1.º Bach.
Sentido espacial
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas · 1.º de Bachillerato
Repasar: Sentido espacial
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1
Recuerda: AB = (b₁ − a₁, b₂ − a₂), extremo menos origen.
Con A = (2, 1) y B = (5, 7), escribe las componentes de AB.Ejercicio 2
Recuerda: |u| = √(u₁² + u₂²).
Calcula el módulo de u = (6, −8).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3
Recuerda: el punto medio de AB es M = (, ).
Calcula el punto medio de A = (2, −4) y B = (6, 2).Ejercicio 4
Recuerda: k · (u₁, u₂) = (k u₁, k u₂) y los vectores se restan componente a componente.
Con u = (1, 3) y v = (4, −2), calcula 2u − v.Ejercicio 5 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales (v = k · u).
Verdadero o falso: u = (2, −3) y v = (−4, 6) son paralelos.VerdaderoFalso
Ejercicio 6
Recuerda: u · v = u₁v₁ + u₂v₂.
Calcula el producto escalar de u = (3, −1) y v = (2, 5).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7
Recuerda: cos α = .
Calcula el ángulo que forman u = (1, 0) y v = (1, 1), en grados.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… °
Ejercicio 8
Recuerda: en Ax + By + C = 0 la pendiente es m = −.
Calcula la pendiente de la recta 2x − 4y + 3 = 0 (en forma decimal).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 9 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: dos rectas son perpendiculares si m · m' = −1, y la ecuación punto-pendiente es y − y₀ = m(x − x₀).
¿Cuál es la recta perpendicular a y = 2x + 1 que pasa por (2, 0)?- y = −x + 1
- y = 2x − 4
- y = x − 1
- y = −2x + 4
Ejercicio 10
Recuerda: d(P, r) = .
Calcula la distancia del origen O = (0, 0) a la recta 3x + 4y − 10 = 0.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
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ULUMINE · Matemáticas · 1.º de Bachillerato
Repasar: Sentido espacial
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: (3, 6)
Se restan las coordenadas del origen A a las del extremo B.
- 5 − 2 = 3
- 7 − 1 = 6
- AB = (3, 6)
Ejercicio 2
Respuesta: 10
El cuadrado de un número negativo es positivo.
- |u| = √(36 + 64)
- = √100 = 10
Ejercicio 3
Respuesta: (4, −1)
Cada coordenada del punto medio es la media de las coordenadas de A y B.
- = 4
- = −1
- M = (4, −1)
Ejercicio 4
Respuesta: (−2, 8)
Primero se multiplica u por 2 y después se resta v.
- 2u = (2, 6)
- 2u − v = (2 − 4, 6 − (−2))
- = (−2, 8)
Ejercicio 5
Respuesta: Vrai
Es verdadero: v = −2 · u, así que tienen la misma dirección (y sentidos opuestos).
- = −2 y = −2
- Las componentes son proporcionales: v = −2u
Ejercicio 6
Respuesta: 1
Se multiplican las componentes correspondientes y se suman. El resultado es un número, no un vector.
- 3 · 2 = 6
- (−1) · 5 = −5
- u · v = 6 − 5 = 1
Ejercicio 7
Respuesta: 45 °
Se calcula el coseno del ángulo con el producto escalar y los módulos.
- u · v = 1 · 1 + 0 · 1 = 1
- |u| = 1, |v| = √2
- cos α = = ⟹ α = 45°
Ejercicio 8
Respuesta: 0,5
A = 2 y B = −4. También se puede despejar y.
- m = − = = 0,5
- Comprobación: 4y = 2x + 3 ⟹ y = 0,5x + 0,75
Ejercicio 9
Respuesta: y = −x + 1
La pendiente perpendicular a 2 es −; después se impone que la recta pase por (2, 0).
- m' = − porque 2 · (−) = −1
- y − 0 = −(x − 2)
- y = −x + 1
Ejercicio 10
Respuesta: 2
Se sustituyen las coordenadas de O en la ecuación de la recta y se divide por el módulo del vector normal (3, 4).
- |3 · 0 + 4 · 0 − 10| = 10
- √(9 + 16) = 5
- d = = 2
Estos ejercicios repasan los vectores del plano y la recta: componentes, módulo, operaciones, producto escalar, ecuaciones y distancias. Haz un dibujo rápido cuando lo necesites: ayuda mucho a comprobar los resultados.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: |u| = √(u₁² + u₂²).
Calcula el módulo de u = (6, −8).Ejercicio 3 de 10
Respuesta escritaRecuerda: el punto medio de AB es M = (, ).
Calcula el punto medio de A = (2, −4) y B = (6, 2).Ejercicio 4 de 10
Respuesta escritaRecuerda: k · (u₁, u₂) = (k u₁, k u₂) y los vectores se restan componente a componente.
Con u = (1, 3) y v = (4, −2), calcula 2u − v.Ejercicio 5 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales (v = k · u).
Verdadero o falso: u = (2, −3) y v = (−4, 6) son paralelos.Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda: u · v = u₁v₁ + u₂v₂.
Calcula el producto escalar de u = (3, −1) y v = (2, 5).Ejercicio 7 de 10
CálculoRecuerda: cos α = .
Calcula el ángulo que forman u = (1, 0) y v = (1, 1), en grados.Ejercicio 8 de 10
CálculoRecuerda: en Ax + By + C = 0 la pendiente es m = −.
Calcula la pendiente de la recta 2x − 4y + 3 = 0 (en forma decimal).Ejercicio 9 de 10
Tipo testRecuerda: dos rectas son perpendiculares si m · m' = −1, y la ecuación punto-pendiente es y − y₀ = m(x − x₀).
¿Cuál es la recta perpendicular a y = 2x + 1 que pasa por (2, 0)?Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: d(P, r) = .
Calcula la distancia del origen O = (0, 0) a la recta 3x + 4y − 10 = 0.