La geometría analítica traduce la geometría al lenguaje del álgebra: los puntos son pares de números y las rectas, ecuaciones. Con un punto y un vector director puedes escribir una recta de varias formas, estudiar si dos rectas se cortan y calcular ángulos y distancias.
Objetivos
- Escribir las distintas ecuaciones de una recta y pasar de una a otra
- Determinar la posición relativa de dos rectas
- Obtener rectas paralelas y perpendiculares
- Calcular el ángulo entre dos rectas y la distancia de un punto a una recta
- Reconocer la mediatriz y la circunferencia como lugares geométricos
1. Ecuaciones de la recta
Una recta queda determinada por un punto P = (x₀, y₀) y un vector director v = (v₁, v₂).
| Ecuación | Forma |
|---|---|
| Vectorial | (x, y) = (x₀, y₀) + t · (v₁, v₂) |
| Paramétricas | x = x₀ + t v₁; y = y₀ + t v₂ |
| Continua | = |
| General (implícita) | Ax + By + C = 0, con vector director (−B, A) |
| Explícita | y = mx + n (m = pendiente, n = ordenada en el origen) |
| Punto-pendiente | y − y₀ = m(x − x₀) |
Recta que pasa por P = (1, 2) con v = (3, −1)
- Continua: =
- −(x − 1) = 3(y − 2) ⟹ −x + 1 = 3y − 6
- General: x + 3y − 7 = 0; pendiente m = −
2. Posiciones relativas, paralelas y perpendiculares
| Rectas Ax + By + C = 0 y A'x + B'y + C' = 0 | Posición |
|---|---|
| ≠ | Secantes (un punto común) |
| = ≠ | Paralelas |
| = = | Coincidentes |
- Paralelas: misma pendiente (m = m').
- Perpendiculares: m · m' = −1, o bien vectores directores con producto escalar nulo.
Perpendicular a 2x + 3y − 1 = 0 por P = (1, 1)
- Vector normal (2, 3): será el vector director de la perpendicular.
- = ⟹ 3x − 3 = 2y − 2
- 3x − 2y − 1 = 0
3. Ángulos y distancias
cos α =
d(P, r) =
Distancia de P = (1, 2) a 3x + 4y − 1 = 0
- |3 · 1 + 4 · 2 − 1| = 10
- √(9 + 16) = 5
- d = 2
4. Lugares geométricos
Mediatriz de AB: Es el conjunto de puntos que equidistan de A y de B: la recta perpendicular a AB por su punto medio.
Circunferencia: Es el conjunto de puntos a distancia r de un centro C = (a, b): (x − a)² + (y − b)² = r².
Centro y radio de x² + y² − 6x + 8y = 0
- Completamos cuadrados: (x − 3)² − 9 + (y + 4)² − 16 = 0
- (x − 3)² + (y + 4)² = 25
Centro (3, −4), radio 5
Recuerda
- Punto + vector director → cualquier ecuación de la recta.
- Ax + By + C = 0: normal (A, B), director (−B, A), pendiente −.
- Paralelas: m = m'; perpendiculares: m · m' = −1.
- d(P, r) = .
- Circunferencia: (x − a)² + (y − b)² = r².
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.