Un vector reúne en un solo objeto una dirección, un sentido y una longitud. Los vectores son la herramienta básica de la geometría analítica y de la física: con ellos describes desplazamientos, fuerzas y velocidades, y calculas distancias y ángulos sin dibujar.
Objetivos
- Obtener las componentes y el módulo de un vector
- Sumar vectores y multiplicarlos por un número
- Expresar un vector como combinación lineal de una base
- Calcular el producto escalar y el ángulo entre dos vectores
- Reconocer vectores paralelos y perpendiculares
1. Componentes y módulo
Vector fijo AB: Es el segmento orientado de origen A y extremo B. Si A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂), sus componentes son AB = (b₁ − a₁, b₂ − a₂). Todos los vectores fijos con las mismas componentes representan el mismo vector libre.
|u| = √(u₁² + u₂²)
A = (1, 2), B = (4, 6)
- AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)
- |AB| = √(9 + 16) = 5
El punto medio del segmento AB es M = (, ).
2. Operaciones y bases
- Suma: (u₁, u₂) + (v₁, v₂) = (u₁ + v₁, u₂ + v₂) (regla del paralelogramo).
- Producto por un número: k · (u₁, u₂) = (k u₁, k u₂). Si k < 0, cambia el sentido.
- u y v son paralelos si u = k · v, es decir, si sus componentes son proporcionales.
Base: Dos vectores no paralelos u y v forman una base del plano: cualquier vector w se escribe de forma única como w = a · u + b · v (combinación lineal).
Expresar w = (5, 3) en la base u = (1, 2), v = (3, −1)
- (5, 3) = a(1, 2) + b(3, −1)
- a + 3b = 5 y 2a − b = 3
- a = 2, b = 1: w = 2u + v
3. Producto escalar
u · v = |u| · |v| · cos α
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ (en base ortonormal)
cos α =
Ángulo entre u = (1, 2) y v = (3, 1)
- u · v = 3 + 2 = 5
- |u| = √5, |v| = √10
- cos α = = ⟹ α = 45°
Recuerda
- AB = B − A; |u| = √(u₁² + u₂²).
- Paralelos: componentes proporcionales; dos vectores no paralelos forman una base.
- u · v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u||v| cos α.
- Perpendiculares ⟺ producto escalar nulo.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.