Muchos problemas se traducen en una ecuación, una inecuación o un sistema. En 1.º de Bachillerato amplías los tipos que sabes resolver: ecuaciones con raíces, con fracciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas, inecuaciones de segundo grado y sistemas lineales con tres incógnitas.
Objetivos
- Resolver ecuaciones bicuadradas y polinómicas por factorización
- Resolver ecuaciones racionales e irracionales comprobando las soluciones
- Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
- Resolver inecuaciones con una tabla de signos
- Resolver y clasificar sistemas lineales por el método de Gauss
1. Ecuaciones polinómicas
Ecuación bicuadrada: Es de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Con el cambio t = x² se convierte en una ecuación de segundo grado.
Resolver x⁴ − 5x² + 4 = 0
- Cambio t = x²: t² − 5t + 4 = 0
- t = , es decir, t = 4 o t = 1
- x² = 4 ⟹ x = ±2; x² = 1 ⟹ x = ±1
x ∈ −2, −1, 1, 2 (cuatro soluciones)
2. Ecuaciones racionales e irracionales
En una ecuación racional multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores. En una ecuación irracional aislamos la raíz y elevamos al cuadrado.
Resolver √(x + 7) = x + 1
- Elevamos al cuadrado: x + 7 = x² + 2x + 1
- x² + x − 6 = 0 ⟹ x = 2 o x = −3
- Comprobación: x = 2 da √9 = 3 = 2 + 1 ✓
- x = −3 da √4 = 2 ≠ −2 ✗
Única solución: x = 2
3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
- Si se pueden igualar las bases: 2x+1 = 16 = 2⁴ ⟹ x + 1 = 4 ⟹ x = 3.
- Si no: se toman logaritmos. 5x = 3 ⟹ x = ≈ 0,68.
- Con un cambio de variable: 32x − 4 · 3x + 3 = 0, con t = 3x, da t² − 4t + 3 = 0.
Resolver log x + log (x − 3) = 1
- log [x(x − 3)] = log 10
- x² − 3x − 10 = 0 ⟹ x = 5 o x = −2
- x = −2 no sirve: log (−2) no existe.
x = 5
4. Inecuaciones
Para resolver P(x) < 0 o una inecuación racional, se buscan las raíces del numerador y del denominador, se divide la recta en intervalos y se estudia el signo en cada uno.
| (−∞, 1) | (1, 3) | (3, +∞) | |
|---|---|---|---|
| x − 1 | − | + | + |
| x − 3 | − | − | + |
| Producto | + | − | + |
5. Sistemas lineales: método de Gauss
El método de Gauss transforma el sistema en otro equivalente escalonado (cada ecuación con una incógnita menos) y se resuelve de abajo arriba.
Resolver x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2
- E2 − 2·E1: −3y − z = −9; E3 − E1: y − 2z = −4
- 3·(nueva E3) + (nueva E2): −7z = −21 ⟹ z = 3
- y − 6 = −4 ⟹ y = 2; x + 2 + 3 = 6 ⟹ x = 1
(x, y, z) = (1, 2, 3)
| Tipo | Soluciones | Señal en el escalonado |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Una | Tantas ecuaciones útiles como incógnitas |
| Compatible indeterminado | Infinitas | Aparece 0 = 0 |
| Incompatible | Ninguna | Aparece 0 = k con k ≠ 0 |
Recuerda
- Bicuadrada: cambio t = x²; exponencial con dos potencias: cambio t = aˣ.
- En ecuaciones irracionales, racionales y logarítmicas hay que comprobar las soluciones.
- Las inecuaciones se resuelven estudiando el signo en cada intervalo.
- Multiplicar por un negativo invierte el sentido de la desigualdad.
- Gauss: escalonar el sistema y resolver de abajo arriba.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.