Las funciones describen cómo una magnitud depende de otra: el coste según la distancia, la temperatura a lo largo del día, la cantidad de una sustancia que se desintegra. En esta lección repasas las funciones elementales, estudias sus propiedades y aprendes a combinarlas.
Objetivos
- Calcular el dominio y el recorrido de una función
- Estudiar simetrías, monotonía, extremos y periodicidad
- Reconocer las gráficas de las funciones elementales
- Obtener gráficas por traslaciones y simetrías
- Componer funciones y calcular la función inversa
1. Dominio y recorrido
Dominio: Conjunto de valores de x para los que f(x) existe. El recorrido (o imagen) es el conjunto de valores que toma f(x).
| Tipo de función | Condición del dominio |
|---|---|
| Polinómica | Todo ℝ |
| Racional | Q(x) ≠ 0 |
| Raíz de índice par √g(x) | g(x) ≥ 0 |
| Logarítmica log g(x) | g(x) > 0 |
Dominio de f(x) = ln (4 − x²)
- 4 − x² > 0 ⟺ x² < 4
- −2 < x < 2
Dom f = (−2, 2)
2. Propiedades de una función
- Par: f(−x) = f(x), simétrica respecto del eje Y (por ejemplo x², cos x, |x|).
- Impar: f(−x) = −f(x), simétrica respecto del origen (por ejemplo x³, sen x, ).
- Creciente en un intervalo si al aumentar x aumenta f(x); decreciente si disminuye.
- Máximo/mínimo relativo: punto donde la función pasa de crecer a decrecer (o al revés).
- Periódica de periodo T si f(x + T) = f(x) para todo x.
¿Es f(x) = x³ − x par o impar?
- f(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x
- = −(x³ − x) = −f(x)
Es impar
3. Funciones elementales y transformaciones
| Función | Rasgos principales |
|---|---|
| y = mx + n | Recta de pendiente m |
| y = ax² + bx + c | Parábola de vértice en x = − |
| y = | Hipérbola con asíntotas x = 0 e y = 0 |
| y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) | Siempre positiva; pasa por (0, 1) |
| y = loga x | Dominio (0, +∞); pasa por (1, 0) |
| y = sen x, y = cos x | Periódicas de periodo 2π, recorrido [−1, 1] |
| Nueva función | Efecto en la gráfica |
|---|---|
| f(x) + k | Traslación k hacia arriba |
| f(x − k) | Traslación k hacia la derecha |
| −f(x) | Simetría respecto del eje X |
| f(−x) | Simetría respecto del eje Y |
| |f(x)| | La parte negativa se refleja hacia arriba |
4. Composición y función inversa
Composición: (g ∘ f)(x) = g(f(x)): primero se aplica f y después g. En general, g ∘ f ≠ f ∘ g.
Función inversa: f⁻¹ deshace lo que hace f: (f⁻¹ ∘ f)(x) = x. Solo existe si f es inyectiva (no repite valores). Su gráfica es simétrica de la de f respecto de la recta y = x.
Inversa de f(x) = 2x − 6
- Escribimos y = 2x − 6 y despejamos x: x =
- Intercambiamos los nombres de las variables
f⁻¹(x) =
Recuerda
- Dominio: cuidado con denominadores, raíces de índice par y logaritmos.
- Par: f(−x) = f(x); impar: f(−x) = −f(x).
- f(x − k) traslada a la derecha; f(x) + k, hacia arriba.
- (g ∘ f)(x) = g(f(x)); la composición no es conmutativa.
- La gráfica de f⁻¹ es simétrica de la de f respecto de y = x.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.