Ejercicio 1 de 10
Tipo testRecuerda: la matriz ampliada A* = (A | B) añade a los coeficientes la columna de los términos independientes.
¿Cuál es la matriz ampliada del sistema 2x + y = 5 ; x − 3y = 4?
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Sentido algebraico (sistemas y programación lineal)
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido algebraico (sistemas y programación lineal)
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Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: la matriz ampliada A* = (A | B) añade a los coeficientes la columna de los términos independientes.
¿Cuál es la matriz ampliada del sistema 2x + y = 5 ; x − 3y = 4?- (2 1 | 5 ; 1 −3 | 4)
- (2 1 ; 1 −3)
- (2 1 | 5 ; 1 3 | 4)
- (5 ; 4)
Ejercicio 2 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: una terna es solución de un sistema si cumple todas las ecuaciones.
Verdadero o falso: (1, 2, 3) es solución del sistema x + y + z = 6 ; 2x − y = 0 ; y + z = 5.VerdaderoFalso
Ejercicio 3
Recuerda: un sistema escalonado se resuelve de abajo arriba, sustituyendo cada valor en la ecuación anterior.
Resuelve x + y + z = 6 ; y + z = 5 ; 2z = 6. ¿Cuánto vale x?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 4
Recuerda: en el método de Gauss se usa la primera ecuación para eliminar x de las demás (E2 → E2 − E1, E3 → E3 − 2E1…).
Resuelve:
x + 2y + z = 8
x + y − z = 0
2x + y + z = 7
¿Cuánto vale z?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Recuerda (Rouché-Frobenius): se comparan rg A, rg A* y el número de incógnitas.
Asocia cada sistema de 3 incógnitas con su clasificación.- 1. rg A = 3 y rg A* = 3
- 2. rg A = 2 y rg A* = 2
- 3. rg A = 2 y rg A* = 3
- A. Incompatible
- B. Compatible indeterminado
- C. Compatible determinado
Ejercicio 6
Recuerda (Cramer): x = , donde Aₓ es A con la columna de x sustituida por los términos independientes.
Resuelve 2x + y = 7 ; x − y = 2 por Cramer. ¿Cuánto vale x?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: si dos ecuaciones son proporcionales, en realidad solo aportan una condición.
Considera el sistema x + y = 3 ; 2x + ay = 6. Para a = 2, ¿cómo es el sistema?- Compatible determinado
- Compatible indeterminado
- Incompatible
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: «como máximo» se traduce por ≤ y «al menos» por ≥.
Una pastelería hace x bizcochos e y tartas. Cada bizcocho lleva 0,5 kg de harina y cada tarta 1 kg, y dispone como máximo de 100 kg de harina. ¿Qué restricción corresponde?- 0,5x + y ≤ 100
- x + 0,5y ≤ 100
- 0,5x + y ≥ 100
- x + y ≤ 100
Ejercicio 9 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Recuerda: un punto pertenece a la región factible si cumple todas las restricciones.
Verdadero o falso: el punto (2, 3) pertenece a la región definida por x + y ≤ 6 y x − y ≥ 0.VerdaderoFalso
Ejercicio 10
Recuerda: el máximo se busca en los vértices de la región factible (cortes de las rectas frontera).
Halla el valor máximo de F(x, y) = 4x + 3y con x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7 y 2x + y ≤ 10.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
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ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido algebraico (sistemas y programación lineal)
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: (2 1 | 5 ; 1 −3 | 4)
Cada fila es una ecuación: sus coeficientes y, tras la barra, su término independiente. El signo del coeficiente se conserva.
- Fila 1: 2, 1 | 5
- Fila 2: 1, −3 | 4
- (2 1 ; 1 −3) es solo la matriz de coeficientes A
Ejercicio 2
Respuesta: Vrai
Es verdadero: al sustituir x = 1, y = 2, z = 3 se cumplen las tres ecuaciones.
- 1 + 2 + 3 = 6 ✓
- 2 · 1 − 2 = 0 ✓
- 2 + 3 = 5 ✓
Ejercicio 3
Respuesta: 1
La última ecuación da z, la segunda y, y la primera x.
- 2z = 6 ⟹ z = 3
- y + 3 = 5 ⟹ y = 2
- x + 2 + 3 = 6 ⟹ x = 1
Ejercicio 4
Respuesta: 3
Tras eliminar x queda un sistema de dos ecuaciones con y y z, que se resuelve por sustitución.
- E2 → E2 − E1: −y − 2z = −8, es decir, y = 8 − 2z
- E3 → E3 − 2E1: −3y − z = −9, es decir, 3y + z = 9
- 3(8 − 2z) + z = 9 ⟹ 24 − 5z = 9 ⟹ z = 3
- y = 2 y x = 8 − 4 − 3 = 1
Ejercicio 5
Respuesta: 1 → C · 2 → B · 3 → A
Si los rangos son distintos no hay solución; si son iguales, la solución es única cuando el rango vale 3 (el número de incógnitas).
- 3 = 3 = n: SCD
- 2 = 2 < 3: SCI con 3 − 2 = 1 parámetro
- 2 ≠ 3: SI
Ejercicio 6
Respuesta: 3
Se calculan los dos determinantes de orden 2 y se dividen.
- |A| = |2 1 ; 1 −1| = −2 − 1 = −3
- |Aₓ| = |7 1 ; 2 −1| = −7 − 2 = −9
- x = = 3 (y entonces y = 1)
Ejercicio 7
Respuesta: Compatible indeterminado
Para a = 2 la segunda ecuación es el doble de la primera: queda una sola ecuación con dos incógnitas, con infinitas soluciones.
- |A| = |1 1 ; 2 a| = a − 2 = 0 para a = 2
- 2x + 2y = 6 es 2 · (x + y = 3)
- rg A = rg A* = 1 < 2: SCI, soluciones x = 3 − λ, y = λ
Ejercicio 8
Respuesta: 0,5x + y ≤ 100
La harina usada es 0,5 kg por bizcocho más 1 kg por tarta, y no puede superar 100 kg.
- Harina de los bizcochos: 0,5x
- Harina de las tartas: 1 · y
- 0,5x + y ≤ 100
Ejercicio 9
Respuesta: Faux
Es falso: cumple la primera restricción, pero no la segunda.
- x + y = 2 + 3 = 5 ≤ 6 ✓
- x − y = 2 − 3 = −1, que no es ≥ 0 ✗
Ejercicio 10
Respuesta: 24
Se calculan los vértices, se evalúa F en cada uno y se elige el mayor valor.
- Vértices: (0, 0), (5, 0), (0, 7) y el corte de x + y = 7 con 2x + y = 10: restando, x = 3 e y = 4
- F(0, 0) = 0; F(5, 0) = 20; F(0, 7) = 21; F(3, 4) = 12 + 12 = 24
- Máximo: 24, en el punto (3, 4)
Estos ejercicios retoman paso a paso los sistemas de ecuaciones lineales (Gauss, Rouché-Frobenius, Cramer, parámetros) y la programación lineal. Cada enunciado incluye un recordatorio: úsalo. Lee siempre la corrección completa, también cuando aciertes, porque ahí está el método. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: una terna es solución de un sistema si cumple todas las ecuaciones.
Verdadero o falso: (1, 2, 3) es solución del sistema x + y + z = 6 ; 2x − y = 0 ; y + z = 5.Ejercicio 3 de 10
CálculoRecuerda: un sistema escalonado se resuelve de abajo arriba, sustituyendo cada valor en la ecuación anterior.
Resuelve x + y + z = 6 ; y + z = 5 ; 2z = 6. ¿Cuánto vale x?Ejercicio 4 de 10
CálculoRecuerda: en el método de Gauss se usa la primera ecuación para eliminar x de las demás (E2 → E2 − E1, E3 → E3 − 2E1…).
Resuelve:
x + 2y + z = 8
x + y − z = 0
2x + y + z = 7
¿Cuánto vale z?Ejercicio 5 de 10
RelacionarRecuerda (Rouché-Frobenius): se comparan rg A, rg A* y el número de incógnitas.
Asocia cada sistema de 3 incógnitas con su clasificación.Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda (Cramer): x = , donde Aₓ es A con la columna de x sustituida por los términos independientes.
Resuelve 2x + y = 7 ; x − y = 2 por Cramer. ¿Cuánto vale x?Ejercicio 7 de 10
Tipo testRecuerda: si dos ecuaciones son proporcionales, en realidad solo aportan una condición.
Considera el sistema x + y = 3 ; 2x + ay = 6. Para a = 2, ¿cómo es el sistema?Ejercicio 8 de 10
Tipo testRecuerda: «como máximo» se traduce por ≤ y «al menos» por ≥.
Una pastelería hace x bizcochos e y tartas. Cada bizcocho lleva 0,5 kg de harina y cada tarta 1 kg, y dispone como máximo de 100 kg de harina. ¿Qué restricción corresponde?Ejercicio 9 de 10
Verdadero o falsoRecuerda: un punto pertenece a la región factible si cumple todas las restricciones.
Verdadero o falso: el punto (2, 3) pertenece a la región definida por x + y ≤ 6 y x − y ≥ 0.Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: el máximo se busca en los vértices de la región factible (cortes de las rectas frontera).
Halla el valor máximo de F(x, y) = 4x + 3y con x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7 y 2x + y ≤ 10.