¿Cuántas unidades de cada producto conviene fabricar para ganar lo máximo con unas horas y unos materiales limitados? ¿Qué dieta cubre las necesidades al menor coste? La programación lineal responde a estas preguntas de optimización con restricciones. Es un ejercicio casi fijo en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.
Objetivos
- Identificar variables de decisión, restricciones y función objetivo en un enunciado
- Representar la región factible como intersección de semiplanos
- Calcular los vértices de la región factible
- Hallar el máximo o el mínimo de la función objetivo
- Interpretar los casos de solución única, infinitas soluciones o sin solución
1. Elementos de un problema
- Variables de decisión: x e y (por ejemplo, unidades de dos productos).
- Restricciones: inecuaciones lineales que expresan las limitaciones (horas, materiales, presupuesto) y x ≥ 0, y ≥ 0.
- Región factible: conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones.
- Función objetivo f(x, y) = ax + by: lo que hay que maximizar (beneficio) o minimizar (coste).
2. Región factible y vértices
Cada restricción ax + by ≤ c es un semiplano: dibuja la recta ax + by = c y comprueba con un punto (por ejemplo, el origen) qué lado cumple la desigualdad. La región factible es la intersección de todos los semiplanos. Sus vértices son los puntos de corte de las rectas frontera.
Restricciones: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 18
- Cortes con los ejes: (10, 0) y (0, 6)
- Corte de x + y = 10 y x + 3y = 18: restando, 2y = 8 ⟹ y = 4, x = 6
- Vértices: (0, 0), (10, 0), (6, 4) y (0, 6)
3. Optimizar la función objetivo
Teorema fundamental: Si la función objetivo tiene óptimo en la región factible, se alcanza en un vértice o en todos los puntos de un lado (si dos vértices consecutivos dan el mismo valor).
| Vértice | f(x, y) |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (10, 0) | 300 |
| (6, 4) | 180 + 160 = 340 |
| (0, 6) | 240 |
El máximo es 340 y se alcanza en (6, 4). Otra forma de verlo: las rectas de nivel 30x + 40y = k son paralelas; se desplazan en el sentido en que crece k hasta el último punto de la región que tocan.
4. Casos especiales
- Infinitas soluciones: la función objetivo es paralela a un lado de la región y el óptimo está en ese lado.
- Región no acotada: puede existir el mínimo pero no el máximo (o al revés). Comprueba hacia dónde crece f.
- Región vacía: las restricciones son incompatibles y no hay solución.
Minimizar C = 2x + 3y con x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 7, x ≥ 0, y ≥ 0
- Región no acotada con vértices (0, 5), (3, 2) y (7, 0)
- C(0, 5) = 15 ; C(3, 2) = 12 ; C(7, 0) = 14
- Mínimo 12 en (3, 2). No hay máximo: C crece sin límite en la región
Recuerda
- Variables, restricciones (con x, y ≥ 0) y función objetivo.
- Región factible = intersección de semiplanos.
- Vértices: resolver los sistemas de las rectas frontera.
- El óptimo está en un vértice (o en un lado entero).
- En regiones no acotadas puede faltar el máximo o el mínimo.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.