Pregunta 1 de 25
A es una matriz de dimensión 2 × 3 y B una matriz de dimensión 3 × 4. ¿Cuál es la dimensión de A · B?
Evaluación · 2.º de Bachillerato
Evaluación de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
25 preguntas · unos 50 minutos · 4 bloques del currículo
Esta evaluación te ayuda a hacer balance de lo que sabes hacer en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, el curso de la PAU. No es un examen ni lleva nota: sirve para descubrir tus puntos fuertes y los aspectos que conviene repasar, bloque por bloque.
Trabaja con calma, con papel y una calculadora científica. Si una pregunta no te sale, pasa a la siguiente: también es una información útil.
Para las familias: calculen unos 50 minutos. El resultado muestra, para cada bloque del currículo, lo que ya está consolidado y lo que merece un repaso, con ejercicios adaptados para practicarlo.
ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Evaluación de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Evaluación de diagnóstico
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 25
Ejercicio 1 — Marca la respuesta correcta.
A es una matriz de dimensión 2 × 3 y B una matriz de dimensión 3 × 4. ¿Cuál es la dimensión de A · B?
- 2 × 4
- 3 × 3
- 4 × 2
- No se puede calcular
Ejercicio 2
Sean A = (1 2 ; 3 4) y B = (2 0 ; 1 −1). ¿Cuánto vale el elemento de la fila 2 y la columna 1 de A · B?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Verdadero o falso: para dos matrices cuadradas cualesquiera A y B del mismo orden, (A + B)² = A² + 2AB + B².
VerdaderoFalso
Ejercicio 4
Calcula el determinante |1 2 1 ; 0 3 2 ; 2 1 1| (regla de Sarrus).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5
A es una matriz cuadrada de orden 3 con |A| = 2. ¿Cuánto vale |3A|?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 6 — Marca la respuesta correcta.
¿Cuál es la inversa de A = (3 1 ; 5 2)?
- (2 −1 ; −5 3)
- (2 1 ; 5 3)
- (−2 1 ; 5 −3)
- (3 −1 ; −5 2)
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
A es una matriz invertible. Despeja X en la ecuación matricial X · A = B.
- X = A⁻¹ · B
- X = B · A⁻¹
- X = B − A
- X = B · A
Ejercicio 8 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Verdadero o falso: un sistema de ecuaciones lineales homogéneo puede ser incompatible.
VerdaderoFalso
Ejercicio 9 — Une cada elemento de la izquierda con el de la derecha.
Asocia cada situación (A es la matriz de coeficientes, A* la ampliada y n el número de incógnitas) con la clasificación del sistema según el teorema de Rouché-Frobenius.
- 1. rg A = rg A* = n
- 2. rg A = rg A* < n
- 3. rg A ≠ rg A*
- A. Compatible indeterminado
- B. Incompatible
- C. Compatible determinado
Ejercicio 10
Resuelve por el método de Gauss el sistema:
x + y + z = 6
x − y + 2z = 5
2x + y − z = 1
¿Cuánto vale x?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 11 — Marca la respuesta correcta.
Considera el sistema:
x + y + z = 1
x + 2y + z = 2
x + y + az = 3
¿Para qué valores de a es compatible determinado?- a ≠ 1
- a = 1
- a ≠ 0
- Para ningún valor de a
Ejercicio 12 — Marca la respuesta correcta.
Un taller fabrica x mesas e y sillas. Cada mesa necesita 2 horas de carpintería y cada silla 1 hora, y el taller dispone como máximo de 40 horas. ¿Qué restricción expresa esta condición?
- 2x + y ≤ 40
- x + 2y ≤ 40
- 2x + y ≥ 40
- 2x + y = 40
Ejercicio 13
Halla el valor máximo de F(x, y) = 2x + 3y en la región definida por x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 y x + 2y ≤ 12.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 14
Calcula limx→3 .
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 15 — Marca la respuesta correcta.
¿Cuáles son las asíntotas de f(x) = ?
- Vertical x = 3; horizontal y = 2
- Vertical x = −3; horizontal y = 2
- Vertical x = 3; horizontal y = 0
- Vertical x = 2; horizontal y = 3
Ejercicio 16
Halla a para que sea continua en x = 1 la función definida por f(x) = x² + a si x < 1 y f(x) = 3x + 1 si x ≥ 1.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 17 — Marca la respuesta correcta.
¿En qué punto tiene un mínimo relativo la función f(x) = x³ − 3x² + 2?
- (0, 2)
- (2, −2)
- (1, 0)
- (−2, 2)
Ejercicio 18
El coste total de producir x unidades es C(x) = x² + 6x + 900 euros. ¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste medio por unidad sea mínimo?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… unidades
Ejercicio 19
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = x² − 2x y el eje X. Da el resultado en forma de fracción o redondeado a las centésimas.
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… u²
Ejercicio 20
Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2. Calcula P(A ∪ B).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 21 — Marca «Verdadero» o «Falso».
Con los mismos datos (P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2), verdadero o falso: A y B son independientes.
VerdaderoFalso
Ejercicio 22
Una empresa tiene dos máquinas. La máquina M₁ fabrica el 60 % de las piezas y el 2 % de ellas son defectuosas; la máquina M₂ fabrica el 40 % y el 5 % son defectuosas. Se elige una pieza al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 23
Con los datos anteriores, la pieza elegida resulta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina M₂?
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 24
El tiempo de espera en una consulta sigue una distribución normal con σ = 16 minutos. En una muestra de 64 pacientes, la media es x̄ = 120 minutos. Calcula el extremo inferior del intervalo de confianza al 95 % para la media μ (zα/2 = 1,96).
Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… min
Ejercicio 25 — Marca la respuesta correcta.
Se quiere contrastar H₀: μ = 50 frente a H₁: μ ≠ 50 con α = 0,05. La población es normal con σ = 8, y una muestra de 100 datos da x̄ = 52. ¿Qué se concluye?
- z = 2,5: se rechaza H₀
- z = 2,5: no se rechaza H₀
- z = 0,25: no se rechaza H₀
- z = 0,25: se rechaza H₀
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ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Evaluación de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 2 × 4
El producto (m × n) · (n × p) es posible cuando las columnas de A coinciden con las filas de B, y da una matriz m × p.
- (2 × 3) · (3 × 4): los números interiores coinciden (3 = 3)
- Los exteriores dan la dimensión: 2 × 4
Ejercicio 2
Respuesta: 10
El elemento (i, j) del producto se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B, término a término, y sumando.
- Fila 2 de A: (3, 4); columna 1 de B: (2, 1)
- 3 · 2 + 4 · 1 = 6 + 4 = 10
Ejercicio 3
Respuesta: Faux
Es falso: el producto de matrices no es conmutativo, así que AB y BA no se pueden agrupar en general.
- (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B²
- Solo si AB = BA se obtiene A² + 2AB + B²
Ejercicio 4
Respuesta: 3
Con la regla de Sarrus se suman los productos de la diagonal principal y sus paralelas y se restan los de la diagonal secundaria y sus paralelas.
- Positivos: 1 · 3 · 1 + 2 · 2 · 2 + 1 · 0 · 1 = 3 + 8 + 0 = 11
- Negativos: 1 · 3 · 2 + 1 · 2 · 1 + 2 · 0 · 1 = 6 + 2 + 0 = 8
- Determinante: 11 − 8 = 3
Ejercicio 5
Respuesta: 54
Al multiplicar una matriz de orden n por k, cada una de sus n filas queda multiplicada por k: |kA| = kⁿ · |A|.
- |3A| = 3³ · |A|
- |3A| = 27 · 2 = 54
- Error frecuente: 3 · 2 = 6
Ejercicio 6
Respuesta: (2 −1 ; −5 3)
Para una matriz de orden 2, A⁻¹ = · (d −b ; −c a): se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia el signo de los otros dos.
- |A| = 3 · 2 − 1 · 5 = 1 ≠ 0: A es invertible
- A⁻¹ = · (2 −1 ; −5 3) = (2 −1 ; −5 3)
- Comprobación: (3 1 ; 5 2) · (2 −1 ; −5 3) = (1 0 ; 0 1) = I
Ejercicio 7
Respuesta: X = B · A⁻¹
Como el producto no es conmutativo, hay que multiplicar por A⁻¹ en el mismo lado en que está A: aquí, por la derecha.
- X · A · A⁻¹ = B · A⁻¹
- X · I = B · A⁻¹
- X = B · A⁻¹
Ejercicio 8
Respuesta: Faux
Es falso: un sistema homogéneo (todos los términos independientes nulos) siempre tiene al menos la solución trivial, en la que todas las incógnitas valen 0.
- En un sistema homogéneo, rg A = rg A* porque la columna añadida es nula
- Siempre es compatible: determinado si |A| ≠ 0, indeterminado si |A| = 0 (sistema cuadrado)
Ejercicio 9
Respuesta: 1 → C · 2 → A · 3 → B
El sistema tiene solución si los dos rangos coinciden; la solución es única si además ese rango es igual al número de incógnitas.
- Rangos iguales a n: una única solución (SCD)
- Rangos iguales y menores que n: infinitas soluciones, con n − rg A parámetros (SCI)
- Rangos distintos: sin solución (SI)
Ejercicio 10
Respuesta: 1
Se escalona el sistema eliminando x de la segunda y la tercera ecuación, y después se resuelve de abajo arriba.
- E2 → E2 − E1: −2y + z = −1, es decir, z = 2y − 1
- E3 → E3 − 2E1: −y − 3z = −11, es decir, y + 3z = 11
- Sustituimos: y + 3(2y − 1) = 11 ⟹ 7y = 14 ⟹ y = 2, z = 3
- x = 6 − 2 − 3 = 1
Ejercicio 11
Respuesta: a ≠ 1
Un sistema cuadrado es compatible determinado cuando el determinante de la matriz de coeficientes no es nulo.
- |A| = |1 1 1 ; 1 2 1 ; 1 1 a| = (2a + 1 + 1) − (2 + 1 + a) = a − 1
- |A| ≠ 0 ⟺ a ≠ 1: rg A = rg A* = 3, SCD
- Si a = 1, la primera ecuación dice x + y + z = 1 y la tercera x + y + z = 3: incompatible
Ejercicio 12
Respuesta: 2x + y ≤ 40
Las horas usadas son 2 por cada mesa más 1 por cada silla, y «como máximo» se traduce por ≤.
- Horas de las mesas: 2x; horas de las sillas: y
- Total: 2x + y
- «Como máximo 40»: 2x + y ≤ 40
Ejercicio 13
Respuesta: 20
Si existe, el óptimo se alcanza en un vértice de la región factible: se calculan los vértices y se evalúa F en cada uno.
- Vértices: (0, 0), (8, 0), (0, 6) y el corte de x + y = 8 con x + 2y = 12: y = 4, x = 4
- F(0, 0) = 0; F(8, 0) = 16; F(0, 6) = 18; F(4, 4) = 8 + 12 = 20
- Máximo: 20, en el punto (4, 4)
Ejercicio 14
Respuesta: 6
Al sustituir sale la indeterminación : se factoriza el numerador y se simplifica.
- x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
- = x + 3 si x ≠ 3
- limx→3 (x + 3) = 6
Ejercicio 15
Respuesta: Vertical x = 3; horizontal y = 2
Hay asíntota vertical donde se anula el denominador (y no el numerador). Si numerador y denominador tienen el mismo grado, la horizontal es el cociente de los coeficientes principales.
- x − 3 = 0 ⟹ x = 3, y el numerador vale 7 ≠ 0: asíntota vertical x = 3
- limx→±∞ = = 2: asíntota horizontal y = 2
Ejercicio 16
Respuesta: 3
f es continua en 1 si los límites laterales coinciden con f(1).
- limx→1⁻ f(x) = 1 + a
- limx→1⁺ f(x) = f(1) = 3 · 1 + 1 = 4
- 1 + a = 4 ⟹ a = 3
Ejercicio 17
Respuesta: (2, −2)
Los extremos relativos están entre los puntos donde f'(x) = 0; el criterio de la segunda derivada dice si es máximo o mínimo.
- f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⟹ x = 0 o x = 2
- f''(x) = 6x − 6: f''(0) = −6 < 0 (máximo); f''(2) = 6 > 0 (mínimo)
- f(2) = 8 − 12 + 2 = −2: mínimo relativo en (2, −2)
- (0, 2) es el máximo y (1, 0) el punto de inflexión
Ejercicio 18
Respuesta: 30 unidades
El coste medio es Cm(x) = . Se deriva, se iguala a cero y se comprueba que es un mínimo.
- Cm(x) = x + 6 +
- Cm'(x) = 1 − = 0 ⟹ x² = 900 ⟹ x = 30 (x > 0)
- Cm''(x) = > 0: mínimo. Coste medio mínimo: 30 + 6 + 30 = 66 €
Ejercicio 19
Respuesta: 1,33 u²
Se hallan los cortes con el eje X, se integra entre ellos y, como la función es negativa en ese intervalo, el área es el valor absoluto de la integral.
- x² − 2x = x(x − 2) = 0 ⟹ x = 0 y x = 2
- ∫02 (x² − 2x) dx = [ − x²]02 = − 4 = −
- Área = ≈ 1,33 u²
Ejercicio 20
Respuesta: 0,7
Para la unión se suman las probabilidades y se resta la intersección, que si no se contaría dos veces.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7
Ejercicio 21
Respuesta: Vrai
Es verdadero: dos sucesos son independientes cuando P(A ∩ B) = P(A) · P(B), o, lo que es lo mismo, P(A | B) = P(A).
- P(A) · P(B) = 0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B)
- También: P(A | B) = = 0,5 = P(A)
Ejercicio 22
Respuesta: 0,032
Teorema de la probabilidad total: se suman las probabilidades de cada camino del diagrama de árbol que acaba en «defectuosa».
- P(D) = P(M₁) · P(D | M₁) + P(M₂) · P(D | M₂)
- P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05
- P(D) = 0,012 + 0,02 = 0,032
Ejercicio 23
Respuesta: 0,625
Teorema de Bayes: es el peso del camino «M₂ y defectuosa» dentro del total de piezas defectuosas.
- P(M₂ | D) =
- P(M₂ | D) = =
- P(M₂ | D) = 0,625
Ejercicio 24
Respuesta: 116,08 min
El intervalo de confianza para la media es x̄ ± E, con un error máximo E = zα/2 · .
- = = = 2
- E = 1,96 · 2 = 3,92
- Intervalo: (120 − 3,92 ; 120 + 3,92) = (116,08 ; 123,92)
Ejercicio 25
Respuesta: z = 2,5: se rechaza H₀
Se calcula el estadístico z = y se compara con el valor crítico bilateral 1,96: si |z| > 1,96, z cae en la región de rechazo.
- = = 0,8
- z = = 2,5
- |z| = 2,5 > 1,96: se rechaza H₀ con un nivel de significación del 5 %
Preguntas respondidas: 0 / 25No hay corrección hasta el final: ¡hazlo lo mejor que puedas!
Pregunta 2 de 25
Sean A = (1 2 ; 3 4) y B = (2 0 ; 1 −1). ¿Cuánto vale el elemento de la fila 2 y la columna 1 de A · B?
Pregunta 3 de 25
Verdadero o falso: para dos matrices cuadradas cualesquiera A y B del mismo orden, (A + B)² = A² + 2AB + B².
Pregunta 4 de 25
Calcula el determinante |1 2 1 ; 0 3 2 ; 2 1 1| (regla de Sarrus).
Pregunta 5 de 25
A es una matriz cuadrada de orden 3 con |A| = 2. ¿Cuánto vale |3A|?
Pregunta 6 de 25
¿Cuál es la inversa de A = (3 1 ; 5 2)?
Pregunta 7 de 25
A es una matriz invertible. Despeja X en la ecuación matricial X · A = B.
Pregunta 8 de 25
Verdadero o falso: un sistema de ecuaciones lineales homogéneo puede ser incompatible.
Pregunta 9 de 25
Asocia cada situación (A es la matriz de coeficientes, A* la ampliada y n el número de incógnitas) con la clasificación del sistema según el teorema de Rouché-Frobenius.
Pregunta 10 de 25
Resuelve por el método de Gauss el sistema:
x + y + z = 6
x − y + 2z = 5
2x + y − z = 1
¿Cuánto vale x?Pregunta 11 de 25
Considera el sistema:
x + y + z = 1
x + 2y + z = 2
x + y + az = 3
¿Para qué valores de a es compatible determinado?Pregunta 12 de 25
Un taller fabrica x mesas e y sillas. Cada mesa necesita 2 horas de carpintería y cada silla 1 hora, y el taller dispone como máximo de 40 horas. ¿Qué restricción expresa esta condición?
Pregunta 13 de 25
Halla el valor máximo de F(x, y) = 2x + 3y en la región definida por x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 y x + 2y ≤ 12.
Pregunta 14 de 25
Calcula limx→3 .
Pregunta 15 de 25
¿Cuáles son las asíntotas de f(x) = ?
Pregunta 16 de 25
Halla a para que sea continua en x = 1 la función definida por f(x) = x² + a si x < 1 y f(x) = 3x + 1 si x ≥ 1.
Pregunta 17 de 25
¿En qué punto tiene un mínimo relativo la función f(x) = x³ − 3x² + 2?
Pregunta 18 de 25
El coste total de producir x unidades es C(x) = x² + 6x + 900 euros. ¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste medio por unidad sea mínimo?
unidadesPregunta 19 de 25
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = x² − 2x y el eje X. Da el resultado en forma de fracción o redondeado a las centésimas.
u²Pregunta 20 de 25
Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2. Calcula P(A ∪ B).
Pregunta 21 de 25
Con los mismos datos (P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2), verdadero o falso: A y B son independientes.
Pregunta 22 de 25
Una empresa tiene dos máquinas. La máquina M₁ fabrica el 60 % de las piezas y el 2 % de ellas son defectuosas; la máquina M₂ fabrica el 40 % y el 5 % son defectuosas. Se elige una pieza al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
Pregunta 23 de 25
Con los datos anteriores, la pieza elegida resulta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina M₂?
Pregunta 24 de 25
El tiempo de espera en una consulta sigue una distribución normal con σ = 16 minutos. En una muestra de 64 pacientes, la media es x̄ = 120 minutos. Calcula el extremo inferior del intervalo de confianza al 95 % para la media μ (zα/2 = 1,96).
minPregunta 25 de 25
Se quiere contrastar H₀: μ = 50 frente a H₁: μ ≠ 50 con α = 0,05. La población es normal con σ = 8, y una muestra de 100 datos da x̄ = 52. ¿Qué se concluye?
Quedan 25 preguntas sin responder: contarán como «por repasar».
Repasar un bloque
Un kit de ejercicios progresivos por bloque, desde lo básico hasta el nivel esperado.