Ejercicio 1 de 10
Tipo testRecuerda: una matriz de m filas y n columnas tiene dimensión m × n (primero las filas).
¿Cuál es la dimensión de A = (1 2 3 ; 4 5 6)?
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Sentido numérico (matrices y determinantes)
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido numérico (matrices y determinantes)
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: una matriz de m filas y n columnas tiene dimensión m × n (primero las filas).
¿Cuál es la dimensión de A = (1 2 3 ; 4 5 6)?- 2 × 3
- 3 × 2
- 6
- 2 × 2
Ejercicio 2
Recuerda: la traspuesta Aᵗ se obtiene cambiando filas por columnas: la fila i de A pasa a ser la columna i de Aᵗ.
Si A = (1 2 3 ; 4 5 6), ¿qué número ocupa la fila 2 y la columna 1 de Aᵗ?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3
Recuerda: kA se calcula multiplicando cada elemento por k, y la resta de matrices de la misma dimensión se hace elemento a elemento.
Sean A = (1 2 ; 3 4) y B = (1 0 ; 2 5). ¿Cuánto vale el elemento de la fila 2 y la columna 2 de 2A − B?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 4 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: A · B solo es posible si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
A y B son dos matrices de dimensión 2 × 3. ¿Se puede calcular A · B?- No, porque A tiene 3 columnas y B tiene 2 filas
- Sí, y el resultado es 2 × 3
- Sí, y el resultado es 2 × 2
- Sí, porque tienen la misma dimensión
Ejercicio 5
Recuerda: A² = A · A, y cada elemento del producto es «fila por columna».
Si A = (1 2 ; 0 1), ¿cuánto vale el elemento de la fila 1 y la columna 2 de A²?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 6
Recuerda: |a b ; c d| = a · d − b · c.
Calcula |4 3 ; 2 5|.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7
Recuerda (Sarrus): se suman a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ y se restan a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃.
Calcula |1 0 2 ; 3 1 0 ; 0 2 1|.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 8 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.
¿Para qué valores de k es invertible A = (k 2 ; 2 1)?- k ≠ 4
- k = 4
- k ≠ 2
- Para todo valor de k
Ejercicio 9 — Completa los huecos.
Recuerda: si A = (a b ; c d) y |A| ≠ 0, entonces A⁻¹ = · (d −b ; −c a).
Completa la inversa de A = (4 7 ; 1 2).|A| = y A⁻¹ = ( ; )
Ejercicio 10
Recuerda: si A es invertible, A · X = B ⟹ X = A⁻¹ · B (A⁻¹ se multiplica por la izquierda).
Sean A = (2 1 ; 3 2) y B = (4 ; 7). Resuelve A · X = B. ¿Cuánto vale el segundo elemento de X?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
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ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido numérico (matrices y determinantes)
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 2 × 3
La matriz está escrita por filas separadas por «;»: tiene 2 filas de 3 elementos cada una.
- Filas: (1 2 3) y (4 5 6) ⟹ 2 filas
- Cada fila tiene 3 elementos ⟹ 3 columnas
- Dimensión: 2 × 3
Ejercicio 2
Respuesta: 2
El elemento (2, 1) de Aᵗ es el elemento (1, 2) de A.
- Aᵗ = (1 4 ; 2 5 ; 3 6)
- Fila 2 de Aᵗ: (2 5); su primer elemento es 2
Ejercicio 3
Respuesta: 3
Basta con trabajar con la posición pedida: 2 · a₂₂ − b₂₂.
- a₂₂ = 4 y b₂₂ = 5
- 2 · 4 − 5 = 3
- Matriz completa: 2A − B = (1 4 ; 4 3)
Ejercicio 4
Respuesta: No, porque A tiene 3 columnas y B tiene 2 filas
Tener la misma dimensión permite sumar, no multiplicar. Para multiplicar, los números «interiores» deben coincidir.
- (2 × 3) · (2 × 3): los interiores son 3 y 2
- 3 ≠ 2 ⟹ el producto no existe
- En cambio, A · Bᵗ sí existe: (2 × 3) · (3 × 2) = 2 × 2
Ejercicio 5
Respuesta: 4
Se multiplica la fila 1 de A por la columna 2 de A.
- Fila 1: (1, 2); columna 2: (2, 1)
- 1 · 2 + 2 · 1 = 4
- A² = (1 4 ; 0 1)
Ejercicio 6
Respuesta: 14
Producto de la diagonal principal menos producto de la diagonal secundaria.
- 4 · 5 = 20
- 3 · 2 = 6
- 20 − 6 = 14
Ejercicio 7
Respuesta: 13
Se aplican con cuidado los seis productos de la regla de Sarrus.
- Positivos: 1 · 1 · 1 + 0 · 0 · 0 + 2 · 3 · 2 = 1 + 0 + 12 = 13
- Negativos: 2 · 1 · 0 + 1 · 0 · 2 + 0 · 3 · 1 = 0
- Determinante: 13 − 0 = 13
Ejercicio 8
Respuesta: k ≠ 4
Se calcula el determinante en función de k y se buscan los valores que lo anulan.
- |A| = k · 1 − 2 · 2 = k − 4
- |A| = 0 ⟺ k = 4
- A es invertible para k ≠ 4
Ejercicio 9
Respuesta: 1 · 2 · −7 · −1 · 4
El determinante vale 1, así que basta con intercambiar 4 y 2 y cambiar el signo de 7 y de 1.
- |A| = 4 · 2 − 7 · 1 = 1
- A⁻¹ = (2 −7 ; −1 4)
- Comprobación: (4 7 ; 1 2) · (2 −7 ; −1 4) = (1 0 ; 0 1)
Ejercicio 10
Respuesta: 2
Se calcula A⁻¹ y se multiplica por B por la izquierda.
- |A| = 4 − 3 = 1; A⁻¹ = (2 −1 ; −3 2)
- X = A⁻¹ · B = (2 · 4 − 1 · 7 ; −3 · 4 + 2 · 7) = (1 ; 2)
- Comprobación: 2 · 1 + 2 = 4 y 3 · 1 + 2 · 2 = 7
Estos ejercicios retoman paso a paso las matrices: dimensión, operaciones, producto, determinantes, inversa y ecuaciones matriciales. Cada enunciado incluye un recordatorio: úsalo. Lee siempre la corrección completa, también cuando aciertes, porque ahí está el método. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: la traspuesta Aᵗ se obtiene cambiando filas por columnas: la fila i de A pasa a ser la columna i de Aᵗ.
Si A = (1 2 3 ; 4 5 6), ¿qué número ocupa la fila 2 y la columna 1 de Aᵗ?Ejercicio 3 de 10
CálculoRecuerda: kA se calcula multiplicando cada elemento por k, y la resta de matrices de la misma dimensión se hace elemento a elemento.
Sean A = (1 2 ; 3 4) y B = (1 0 ; 2 5). ¿Cuánto vale el elemento de la fila 2 y la columna 2 de 2A − B?Ejercicio 4 de 10
Tipo testRecuerda: A · B solo es posible si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
A y B son dos matrices de dimensión 2 × 3. ¿Se puede calcular A · B?Ejercicio 5 de 10
CálculoRecuerda: A² = A · A, y cada elemento del producto es «fila por columna».
Si A = (1 2 ; 0 1), ¿cuánto vale el elemento de la fila 1 y la columna 2 de A²?Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda: |a b ; c d| = a · d − b · c.
Calcula |4 3 ; 2 5|.Ejercicio 7 de 10
CálculoRecuerda (Sarrus): se suman a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ y se restan a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃.
Calcula |1 0 2 ; 3 1 0 ; 0 2 1|.Ejercicio 8 de 10
Tipo testRecuerda: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.
¿Para qué valores de k es invertible A = (k 2 ; 2 1)?Ejercicio 9 de 10
Completar huecosRecuerda: si A = (a b ; c d) y |A| ≠ 0, entonces A⁻¹ = · (d −b ; −c a).
Completa la inversa de A = (4 7 ; 1 2).Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: si A es invertible, A · X = B ⟹ X = A⁻¹ · B (A⁻¹ se multiplica por la izquierda).
Sean A = (2 1 ; 3 2) y B = (4 ; 7). Resuelve A · X = B. ¿Cuánto vale el segundo elemento de X?