Con matrices no se puede «dividir», pero sí multiplicar por la inversa. El determinante, un número asociado a cada matriz cuadrada, dice si esa inversa existe. Con ambas herramientas resolverás las ecuaciones matriciales, un clásico de la PAU.
Objetivos
- Calcular determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus)
- Aplicar las propiedades de los determinantes
- Calcular el rango de una matriz
- Decidir si una matriz es invertible y calcular su inversa
- Despejar y resolver ecuaciones matriciales
1. Determinantes de orden 2 y 3
|a b ; c d| = a · d − b · c
Regla de Sarrus (orden 3): se suman los productos de la diagonal principal y de sus dos «paralelas» (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) y se restan los de la diagonal secundaria y sus paralelas (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃).
|1 2 0 ; 0 1 3 ; 2 0 1|
- Positivos: 1 · 1 · 1 + 2 · 3 · 2 + 0 · 0 · 0 = 13
- Negativos: 0 · 1 · 2 + 1 · 3 · 0 + 2 · 0 · 1 = 0
- Determinante: 13 − 0 = 13
- |Aᵗ| = |A| ; |A · B| = |A| · |B|.
- Si A es de orden n: |k · A| = kⁿ · |A|.
- Si dos filas son iguales o proporcionales, o hay una fila de ceros, |A| = 0.
- En general |A + B| ≠ |A| + |B|.
2. Rango de una matriz
Rango: Número de filas (o columnas) linealmente independientes. Equivale al orden del mayor menor (determinante de una submatriz cuadrada) distinto de cero. También se obtiene escalonando por Gauss y contando las filas no nulas.
Rango de (1 2 3 ; 2 4 6)
- La segunda fila es el doble de la primera
- Todos los menores de orden 2 valen 0
- Rango 1
3. Matriz inversa
Inversa: A⁻¹ es la matriz que cumple A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I. Existe si y solo si |A| ≠ 0 (A es regular).
A⁻¹ = · (Adj A)ᵗ
Inversa de A = (2 1 ; 5 3)
- |A| = 6 − 5 = 1 ≠ 0: existe
- En orden 2: se intercambian a y d y se cambia el signo de b y c
- A⁻¹ = · (3 −1 ; −5 2) = (3 −1 ; −5 2)
4. Ecuaciones matriciales
| Ecuación | Despeje (si A es invertible) |
|---|---|
| A · X = B | X = A⁻¹ · B (multiplicar por la izquierda) |
| X · A = B | X = B · A⁻¹ (multiplicar por la derecha) |
| A · X + C = D | X = A⁻¹ · (D − C) |
Resolver (2 1 ; 5 3) · X = (1 ; 2)
- X = A⁻¹ · (1 ; 2) = (3 −1 ; −5 2) · (1 ; 2)
- = (3 − 2 ; −5 + 4) = (1 ; −1)
Recuerda
- |a b ; c d| = ad − bc; orden 3: regla de Sarrus.
- |AB| = |A||B|, |kA| = kⁿ|A|, |Aᵗ| = |A|.
- A tiene inversa ⟺ |A| ≠ 0; A⁻¹ = (Adj A)ᵗ.
- AX = B ⟹ X = A⁻¹B; XA = B ⟹ X = BA⁻¹.
- Rango: orden del mayor menor no nulo.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.