Una matriz es una tabla de números: las ventas de varias tiendas en varios meses, los ingredientes de varios productos, las conexiones de una red. Operar con matrices permite tratar todos esos datos a la vez. Es el primer bloque del álgebra de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.
Objetivos
- Reconocer la dimensión y los tipos de matrices
- Sumar matrices y multiplicarlas por un número
- Multiplicar matrices comprobando que el producto es posible
- Calcular potencias y la matriz traspuesta
- Usar matrices para organizar y calcular datos de contexto
1. Definición y tipos
Matriz de dimensión m × n: Tabla de m filas y n columnas. El elemento aᵢⱼ está en la fila i y la columna j. En el texto escribiremos las matrices por filas, separadas por «;»: A = (1 2 ; 3 4).
| Columna 1 | Columna 2 | |
|---|---|---|
| Fila 1 | a₁₁ = 1 | a₁₂ = 2 |
| Fila 2 | a₂₁ = 3 | a₂₂ = 4 |
- Fila (1 × n), columna (m × 1), cuadrada (n × n).
- Diagonal: cuadrada con ceros fuera de la diagonal principal.
- Identidad I: diagonal con unos. Nula O: todos los elementos 0.
- Traspuesta Aᵗ: se cambian filas por columnas. A es simétrica si Aᵗ = A.
2. Suma y producto por un número
Solo se suman matrices de la misma dimensión, elemento a elemento. Para multiplicar por un número k, se multiplica cada elemento por k.
A = (1 2 ; 3 4) y B = (0 1 ; 2 −1)
- A + B = (1 3 ; 5 3)
- 3A − 2B = (3 6 ; 9 12) − (0 2 ; 4 −2) = (3 4 ; 5 14)
3. Producto de matrices
A (m × n) · B (n × p) es posible solo si el número de columnas de A es igual al de filas de B, y el resultado es m × p. El elemento (i, j) del producto es la fila i de A «por» la columna j de B: se multiplican término a término y se suma.
A · B con A = (1 2 ; 3 4) y B = (0 1 ; 2 −1)
- (1,1): 1 · 0 + 2 · 2 = 4 ; (1,2): 1 · 1 + 2 · (−1) = −1
- (2,1): 3 · 0 + 4 · 2 = 8 ; (2,2): 3 · 1 + 4 · (−1) = −1
- A · B = (4 −1 ; 8 −1), pero B · A = (3 4 ; −1 0)
- A · I = I · A = A.
- (A · B)ᵗ = Bᵗ · Aᵗ.
- A² = A · A, A³ = A² · A (solo para matrices cuadradas).
4. Matrices con datos
Ingresos de dos fábricas
- Producción P = (100 50 ; 80 70): filas F1 y F2, columnas sillas y mesas
- Precios Q = (40 ; 120): silla 40 €, mesa 120 €
- P · Q = (100 · 40 + 50 · 120 ; 80 · 40 + 70 · 120) = (10 000 ; 11 600)
La fábrica F1 ingresa 10 000 € y la F2, 11 600 €.
Recuerda
- aᵢⱼ: fila i, columna j; la dimensión es filas × columnas.
- Suma: misma dimensión, elemento a elemento.
- (m × n) · (n × p) = (m × p): fila por columna.
- El producto no es conmutativo.
- Traspuesta: filas por columnas; (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.