Ejercicio 1 de 10
CálculoRecuerda: el límite de un polinomio en un punto se calcula sustituyendo.
Calcula limx→2 (3x² − 1).
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Sentido de la medida (límites, derivadas e integrales)
10 ejercicios progresivos, desde lo básico hasta el nivel esperado, con una corrección detallada.
ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido de la medida (límites, derivadas e integrales)
Kit de repaso
Nombre: ……………………………Fecha: ……………………Puntuación: ……… / 10
Ejercicio 1
Recuerda: el límite de un polinomio en un punto se calcula sustituyendo.
Calcula limx→2 (3x² − 1).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 2
Recuerda: si al sustituir sale , se factoriza y se simplifica el factor que se anula.
Calcula limx→1 .Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 3 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: en el infinito, un cociente de polinomios del mismo grado tiende al cociente de los coeficientes principales.
Calcula limx→+∞ .- 3
- +∞
- 0
- −0,2
Ejercicio 4
Recuerda: una función a trozos es continua en el punto de unión si los dos trozos dan el mismo valor en él.
Halla a para que sea continua en x = 2 la función f(x) = x + a si x < 2 y f(x) = x² si x ≥ 2.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 5
Recuerda: la derivada de xⁿ es n · xⁿ⁻¹ y la de una constante es 0.
Si f(x) = 4x³ − 2x + 7, calcula f'(1).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 6
Recuerda: (u · v)' = u' · v + u · v', y la derivada de eˣ es eˣ.
Si f(x) = (2x + 1) · eˣ, calcula f'(0).Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 7 — Marca la respuesta correcta.
Recuerda: f es creciente donde f'(x) > 0 y decreciente donde f'(x) < 0.
Estudia la monotonía de f(x) = x² − 6x + 1.- Decreciente en (−∞, 3) y creciente en (3, +∞)
- Creciente en (−∞, 3) y decreciente en (3, +∞)
- Creciente en todo ℝ
- Decreciente en (−∞, −3) y creciente en (−3, +∞)
Ejercicio 8
Recuerda: para optimizar, se deriva, se iguala a 0 y se comprueba con la segunda derivada.
El beneficio de una empresa al vender x unidades es B(x) = −2x² + 120x − 1000 euros. ¿Cuántas unidades maximizan el beneficio?Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… unidades
Ejercicio 9
Recuerda (Barrow): ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), donde F es una primitiva de f.
Calcula ∫02 3x² dx.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ………………
Ejercicio 10
Recuerda: para el área entre una gráfica y el eje X, se hallan los cortes con el eje y se integra entre ellos (en valor absoluto si la función es negativa).
Calcula el área del recinto limitado por f(x) = 4 − x² y el eje X. Da el resultado en forma de fracción o redondeado a las centésimas.Escribe tus cálculos:
Respuesta: ……………… u²
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ULUMINE · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales · 2.º de Bachillerato
Repasar: Sentido de la medida (límites, derivadas e integrales)
Solucionario detallado — para familias y docentes
Ejercicio 1
Respuesta: 11
Los polinomios son continuos: el límite coincide con el valor de la función.
- 3 · 2² − 1 = 3 · 4 − 1
- = 12 − 1 = 11
Ejercicio 2
Respuesta: 2
El numerador es una diferencia de cuadrados: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
- Sustituyendo: , indeterminación
- = x + 1 si x ≠ 1
- limx→1 (x + 1) = 2
Ejercicio 3
Respuesta: 3
Numerador y denominador son de grado 2: mandan los términos 3x² y x².
- ≈ para x muy grande
- = 3
- −0,2 sería el valor en x = 0, no en el infinito
Ejercicio 4
Respuesta: 2
Se igualan el límite por la izquierda y el valor de la función (límite por la derecha) en x = 2.
- Por la izquierda: 2 + a
- Por la derecha: f(2) = 2² = 4
- 2 + a = 4 ⟹ a = 2
Ejercicio 5
Respuesta: 10
Se deriva término a término y después se sustituye x = 1.
- f'(x) = 12x² − 2
- f'(1) = 12 − 2 = 10
Ejercicio 6
Respuesta: 3
Se aplica la regla del producto con u = 2x + 1 y v = eˣ.
- f'(x) = 2 · eˣ + (2x + 1) · eˣ = (2x + 3) · eˣ
- f'(0) = 3 · e⁰ = 3 · 1 = 3
Ejercicio 7
Respuesta: Decreciente en (−∞, 3) y creciente en (3, +∞)
Se estudia el signo de la derivada a cada lado del punto donde se anula.
- f'(x) = 2x − 6 = 0 ⟹ x = 3
- f'(0) = −6 < 0: decreciente en (−∞, 3)
- f'(4) = 2 > 0: creciente en (3, +∞); mínimo en x = 3
Ejercicio 8
Respuesta: 30 unidades
El máximo está donde B'(x) = 0 y B''(x) < 0.
- B'(x) = −4x + 120 = 0 ⟹ x = 30
- B''(x) = −4 < 0: máximo
- Beneficio máximo: B(30) = −1800 + 3600 − 1000 = 800 €
Ejercicio 9
Respuesta: 8
Una primitiva de 3x² es x³; se evalúa en los extremos y se resta.
- F(x) = x³ (comprobación: (x³)' = 3x²)
- F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8
Ejercicio 10
Respuesta: 10,67 u²
La parábola corta el eje X en x = −2 y x = 2 y es positiva entre ambos puntos, así que el área es directamente la integral.
- 4 − x² = 0 ⟹ x = −2 o x = 2
- ∫−22 (4 − x²) dx = [4x − ]−22
- = (8 − ) − (−8 + ) = 16 − = ≈ 10,67 u²
Estos ejercicios retoman paso a paso el análisis: límites, continuidad, derivadas, optimización e integrales. Cada enunciado incluye un recordatorio: úsalo. Lee siempre la corrección completa, también cuando aciertes, porque ahí está el método. Puedes repetirlos tantas veces como quieras.
Ejercicios corregidos: 0 / 10
Ejercicio 2 de 10
CálculoRecuerda: si al sustituir sale , se factoriza y se simplifica el factor que se anula.
Calcula limx→1 .Ejercicio 3 de 10
Tipo testRecuerda: en el infinito, un cociente de polinomios del mismo grado tiende al cociente de los coeficientes principales.
Calcula limx→+∞ .Ejercicio 4 de 10
CálculoRecuerda: una función a trozos es continua en el punto de unión si los dos trozos dan el mismo valor en él.
Halla a para que sea continua en x = 2 la función f(x) = x + a si x < 2 y f(x) = x² si x ≥ 2.Ejercicio 5 de 10
CálculoRecuerda: la derivada de xⁿ es n · xⁿ⁻¹ y la de una constante es 0.
Si f(x) = 4x³ − 2x + 7, calcula f'(1).Ejercicio 6 de 10
CálculoRecuerda: (u · v)' = u' · v + u · v', y la derivada de eˣ es eˣ.
Si f(x) = (2x + 1) · eˣ, calcula f'(0).Ejercicio 7 de 10
Tipo testRecuerda: f es creciente donde f'(x) > 0 y decreciente donde f'(x) < 0.
Estudia la monotonía de f(x) = x² − 6x + 1.Ejercicio 8 de 10
CálculoRecuerda: para optimizar, se deriva, se iguala a 0 y se comprueba con la segunda derivada.
El beneficio de una empresa al vender x unidades es B(x) = −2x² + 120x − 1000 euros. ¿Cuántas unidades maximizan el beneficio?Ejercicio 9 de 10
CálculoRecuerda (Barrow): ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), donde F es una primitiva de f.
Calcula ∫02 3x² dx.Ejercicio 10 de 10
CálculoRecuerda: para el área entre una gráfica y el eje X, se hallan los cortes con el eje y se integra entre ellos (en valor absoluto si la función es negativa).
Calcula el área del recinto limitado por f(x) = 4 − x² y el eje X. Da el resultado en forma de fracción o redondeado a las centésimas.