La derivada es la herramienta para estudiar una función: dónde crece, dónde alcanza máximos y mínimos, cómo se curva. Con ella resolverás problemas de optimización —beneficio máximo, coste mínimo, audiencia máxima— que son el núcleo del análisis en la PAU.
Objetivos
- Estudiar la monotonía y los extremos relativos con la primera derivada
- Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión con la segunda derivada
- Representar gráficamente funciones polinómicas y racionales sencillas
- Hallar parámetros a partir de condiciones sobre extremos e inflexiones
- Resolver problemas de optimización y hallar extremos absolutos en un intervalo
1. Monotonía y extremos
- Calcula f'(x) y resuelve f'(x) = 0 (puntos críticos).
- Estudia el signo de f' en los intervalos que determinan (y los puntos fuera del dominio).
- f' > 0: creciente; f' < 0: decreciente. Cambio de + a −: máximo; de − a +: mínimo.
f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1
- f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)
- f' > 0 en (−∞, 1) y (3, +∞); f' < 0 en (1, 3)
- Máximo relativo en (1, 5) y mínimo relativo en (3, 1)
2. Curvatura y puntos de inflexión
| Signo de f'' | Forma de la gráfica |
|---|---|
| f'' > 0 | Convexa, en forma de ∪ (las tangentes quedan por debajo) |
| f'' < 0 | Cóncava, en forma de ∩ (las tangentes quedan por encima) |
Un punto de inflexión es donde la curvatura cambia (f'' cambia de signo). En el ejemplo, f''(x) = 6x − 12 se anula en x = 2 y cambia de signo: punto de inflexión (2, 3). Ojo: f''(a) = 0 no basta (f(x) = x⁴ tiene f''(0) = 0 y en 0 hay un mínimo).
3. Representación y parámetros
- Dominio, cortes con los ejes y simetría.
- Asíntotas (en funciones racionales).
- Monotonía y extremos (f'); curvatura e inflexión (f'').
- Tabla de valores para completar el dibujo.
Hallar a y b para que f(x) = x³ + ax² + bx tenga un extremo en x = 1 y una inflexión en x = 2
- f'(x) = 3x² + 2ax + b ; f''(x) = 6x + 2a
- Inflexión en 2: f''(2) = 12 + 2a = 0 ⟹ a = −6
- Extremo en 1: f'(1) = 3 − 12 + b = 0 ⟹ b = 9
4. Optimización
- Identifica la magnitud que hay que optimizar y escríbela como función.
- Si hay dos variables, usa la condición (restricción) para dejar una.
- Determina el dominio con sentido (por ejemplo, x > 0).
- Deriva, iguala a 0 y comprueba que es un máximo o un mínimo.
- Responde a la pregunta exacta con unidades.
Coste total C(x) = x² + 10x + 400. ¿Qué producción minimiza el coste medio?
- CMe(x) = = x + 10 +
- CMe'(x) = 1 − = 0 ⟹ x = 20
- CMe''(x) = > 0: mínimo. CMe(20) = 50 € por unidad
Extremos absolutos en [a, b]: una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Se comparan los valores en los puntos críticos interiores y en los extremos a y b.
Recuerda
- f' > 0 crece, f' < 0 decrece; extremo donde f' cambia de signo.
- f'' > 0: ∪ ; f'' < 0: ∩ ; inflexión donde f'' cambia de signo.
- Segunda derivada: f'(a) = 0 y f''(a) < 0 ⟹ máximo; f''(a) > 0 ⟹ mínimo.
- Optimizar: función de una variable, derivar, igualar a 0 y comprobar.
- En [a, b], comparar puntos críticos y extremos del intervalo.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.