Si conoces el coste marginal, ¿cómo recuperas el coste total? Integrar es el proceso inverso de derivar. Además, la integral definida mide áreas: el área bajo una curva o entre dos curvas, que en la PAU suele presentarse con contexto (ingresos acumulados, consumo…).
Objetivos
- Calcular primitivas de funciones elementales
- Usar las propiedades de linealidad de la integral
- Calcular integrales definidas con la regla de Barrow
- Calcular el área bajo una curva y entre dos curvas
- Recuperar una función total a partir de su función marginal
1. Primitivas e integrales inmediatas
Primitiva: F es una primitiva de f si F'(x) = f(x). Todas las primitivas difieren en una constante: ∫ f(x) dx = F(x) + C (integral indefinida).
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
| k | kx + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | + C |
| ln |x| + C | |
| eˣ | eˣ + C |
| eax | eax + C |
| ln |u| + C |
- ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx
- ∫ k · f dx = k · ∫ f dx
∫ (3x² + 2x − 5) dx
- Integramos término a término
- = x³ + x² − 5x + C
2. Integral definida y regla de Barrow
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
∫02 (3x² + 1) dx
- Primitiva: F(x) = x³ + x
- F(2) − F(0) = 10 − 0 = 10
Si f ≥ 0 en [a, b], la integral definida es el área entre la gráfica, el eje X y las rectas x = a, x = b. Si f ≤ 0, la integral es negativa y el área es su valor absoluto.
3. Cálculo de áreas
- Busca los cortes de la función con el eje X (o de las dos curvas entre sí).
- Divide el intervalo en trozos donde la función (o la diferencia) no cambie de signo.
- Calcula la integral en cada trozo y suma los valores absolutos.
Área encerrada por f(x) = x² − 4x y el eje X
- Cortes: x² − 4x = 0 ⟹ x = 0 y x = 4
- ∫04 (x² − 4x) dx = [ − 2x²]04 = − 32 = −
- Área = ≈ 10,67 u²
Área entre y = x y y = x² en [0, 1]
- En [0, 1], x ≥ x²
- ∫01 (x − x²) dx = − = u²
4. Aplicaciones económicas
Si C'(x) es el coste marginal, el coste total es su primitiva; la constante se fija con un dato, normalmente el coste fijo C(0). Lo mismo con ingresos y beneficios.
C'(x) = 2x + 10 y coste fijo 100 €
- C(x) = x² + 10x + K
- C(0) = K = 100
- C(10) = 100 + 100 + 100 = 300 €
Recuerda
- ∫ xⁿ dx = + C; ∫ dx = ln |x| + C; ∫ eˣ dx = eˣ + C.
- Barrow: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a).
- Área: separar por los cortes con el eje y sumar valores absolutos.
- Entre dos curvas: integrar (curva de arriba − curva de abajo).
- Función total = primitiva de la marginal + constante (coste fijo).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.